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1、第六节 双曲线,【知识梳理】 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c0)的距离 _为非零常数2a(2a2c)的点的轨迹 叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_,两焦 点间的距离叫做_.,之差的绝对值,焦点,焦距,(2)集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中 a,c为常数且a0,c0. 当_时,M点的轨迹是双曲线; 当_时,M点的轨迹是两条射线; 当_时,M点不存在.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程与几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0
2、,-a),(0,a),(1,+),2a,2b,a2+b2,【特别提醒】 1.渐近线与离心率 =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 = 2.若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|c-a. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修1-1P54习题2.2A组T1改编)双曲线 上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是 .,【解析】根据双曲线方程可知c= =5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0). 设P(x,y),由两点间距离公式: |PF2|= =6, 所以点
3、P在双曲线右支上,|PF1|= ,因为|PF1|-|PF2|=2a=8, 所以 =2a+6=14, 所以(x+5)2+y2=196, 联立得x=8. 代入原式可得y=3 .所以点P坐标为(8,3 ). 答案:(8,3 ),2.(选修1-1P53练习T3改编)以椭圆 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 .,【解析】设要求的双曲线方程为 (a0,b0), 由椭圆 ,得焦点为(1,0),顶点为(2,0). 所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0). 所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3, 所以双曲线标准方程为x2- =1. 答案:x2- =1,感悟考题试一试 3.(2015安徽高考
4、)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是 ( ),【解析】选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项A的渐近线方程为y=2x.,4.(2015湖南高考)若双曲线 =1(a0,b0) 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率 为 ( ),【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3, -4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=,5.(2015全国卷)已知双曲线过点(4, ),且渐近 线方程为y= ,则该双曲线的标准方程为 .,【解析】根据双曲线渐近线方程为y= 可设双曲 线的方程为 -y2=m,把(4, )代入 -y2=m,得m=1. 答案: -y2=1,考向一
5、双曲线的定义及其应用 【典例1】(1)(2016淄博模拟)设双曲线 =1 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过 F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以 B为直角顶点的等腰直角三角形,则e2= ( ),(2)(2015全国卷)已知F是双曲线C:x2- =1的 右焦点,P是C左支上一点, 当APF周长最小时,该三角形的面积为 .,【解题导引】(1)利用双曲线的定义及等腰直角三 角形的性质可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|= 2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,再利用等腰直角三角形的性质、勾股定理即可得出. (2)利用双曲线的定义以及
6、两点之间线段最短即可求出APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.,【规范解答】(1)选C.如图所示, 因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2| =2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,所以|AF2| =2a,|AF1|=4a. 所以|BF1|=2 a,所以|BF2|=2 a-2a.,因为|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2, 所以(2c)2=(2 a)2+(2 a-2a)2, 所以e2=5-2 .,(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), F(-3,0),又 所以|AF|= =15,APF周长l =|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF|=
7、2, 所以|PF|=|PF|+2, 所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,当且仅当A,P,F三点共线时,APF周长最小,如图所示. 设P(x,y), 直线AF的方程为 =1,联立得 消去x得 y2+36y-96 =0, 解得y=-8 (舍)或y=2 ,则P(x,2 ). 因为SAPF=SAFF-SPFF= 66 - 62 =12 . 答案:12,【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.,(2)技巧:经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|PF2|的联系.
8、 提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.,【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为( ),【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴 上的双曲线的右支,设其方程为 =1(x0,a0, b0),由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以点P的轨迹方 程为 =1(x0).,【加固训练】 1.(2016阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于 ( ) A
9、.2 B.4 C.6 D.8,【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c= , 所以|F1F2|=2 ,在PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60 =|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4, -得|PF1|PF2|=4.,2.如果双曲线 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,那么点P到它的左焦点的距离是 ( ) A.4 B.12 C.4或12 D.不确定,【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.
10、根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a, 则|PF1|=|PF2|2a=84, 所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.,3.点P是双曲线 =1(a0,b0)右支上一点,点 F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则PF1F2的内 切圆圆心M的横坐标是 ( ) A.a B.b C.c D.a+b-c,【解析】选A.如图,内切圆圆心M到 各边的距离分别为MA,MB,MC,切点 分别为A,B,C,由三角形的内切圆的 性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|, |PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|A
11、F1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以PF1F2的内切圆圆心M的横坐标为a.,考向二 双曲线的标准方程及性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:与双曲线有关的范围问题 【典例2】(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若 0,则y0的取值范围是 ( ),【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式,即可求出y0的取值范围.,【规范解答】选A.因为F1(- ,0),F2( ,0), =1,所以 0,即3y02-10,解得- y0 .,【母题
12、变式】 1.若本例中的条件“ 0”改为“ =0”,试求MF1F2的面积.,【解析】由题意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1,所以 =3y02-1=0,解得:y0= , 又因为|F1F2|=2 ,所以MF1F2的面积= =1, 即MF1F2的面积为1.,2.若本例中的条件“ 0”去掉,试求 的范围.,【解析】由题意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1,所以 又因为x022,所以 -4-1, 即 -1.,命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题 【典例3】(1)(2015全国卷)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为
13、 ( ) A. B.2 C. D.,(2)(2015天津高考)已知双曲线 =1(a0,b 0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( ),【解题导引】(1)依据已知条件,想办法得出关于a,c的等式,解方程即可得出离心率的值. (2)可由已知条件,得出关于a,b的两个方程,解方程组即可得出a,b的值,进而得出双曲线方程.,【规范解答】(1)选D.设双曲线方 程为 =1(a0,b0),如图所示, |AB|=|BM|,ABM=120,过点M作 MNx轴,垂足为N,在RtBMN中, |BN|=a,|MN|= a,故点M的坐标为M(2a, a),
14、代入 双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e= .,(2)选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3 相切可知 又因为c= =2,所以有 a=1,b= ,故双曲线的方程为x2- =1.,【技法感悟】 1.与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.,2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形成关于e的关系
15、式,并且需注意e1.,(2)求双曲线 =1(a0,b0)的渐近线的方法是 令 =0,即得两渐近线方程 =0. (3)与双曲线 =1共渐近线的方程可设为 =(0). (4)若渐近线的方程为y= x,则可设双曲线方程 为 =(0).,【题组通关】 1.(2014全国卷)已知双曲线 =1(a0)的离心率为2,则a= ( ) 【解析】选D.由双曲线的离心率可得 =2,解得a=1.,2.(2016莱芜模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且 只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直 线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围 是 ( ),【解析】选A.因为有且只有一对相交于点O,所成的角 为60的直线A1B1和A2B2,所以直线A1B1和A2B2关于x轴 对称,并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30,双曲线 的渐近线与x轴的夹角大于30且小于等于60,否则 不满足题意.可得 tan 30,即 所以e,同样的,
