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1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理,本章介绍的存在唯一性定理，表明了在一定的条件下方程的解的存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以它的近似解法就具有十分重大的实际意义，而解的存在与唯一又是进行计算的理论依据。此外，在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。逐步逼近法是一个重要的分析方法，这一证明方法一定要熟练掌握。因此理解有关定理的内容、掌握逐步逼近法是本章的基本要求。,需解决的问题,3.1 解的存在唯一性
2、定理与逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,证明思路,(2) 构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有
3、意义?,注,命题2,证明:(用数学归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,2 存在唯一性定理的说明,3 一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,三 近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,注:上式可用数学归纳法证明,则,解,由于,由(3.19),解,解,与初值问题等价的积分方程为,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,作业,P78 1,3,4,8,
