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1、第2章 应力分析(Stress Analysis),本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用，八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。,2-1 弹性力学中的几个基本概念Basic Concepts of the Elastic Mechanics,1. 外力(External Force ),体力(Body Force)、面力(Surface Traction),（材力：
2、集中力、分布力）,(1) 体力(Body Force), 分布在物体整个体积内的外力, 体力平均集度（collection degree ）,（矢量）,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1) F 是坐标的连续分布函数；,(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等),(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,重力、惯性力,(2) 面力(Traction), 作用于物体表面单位面积上的外力, 面力分布集度（矢量）, 面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),说
3、明：,(1) F 是坐标的连续分布函数；,(2) F 的加载方式是任意的;,(3) 的正负号由坐标方向确定,指向坐标轴正向为正，反之为负 。,2. 应力(Stress),(1) 应力的概念(The Conception of Stress),内力Internal Force,(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1) P点的内力面分布集度,(2) 应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量Stress Components,应力的法向分量, 正应力 Normal Stress,应力的
4、切向分量, 剪应力Shearing Stress,单位:,与面力相同,MPa (兆帕),应力关于坐标连续分布的,通过一点P 的各个面上应力状况的集合, 称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,2-2 一点的应力状态Stress at a Point,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时的剪应力
5、为正，反之为负。,(2-2a),同理：,(2-2b),(2-2c）,式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相等。,应力张量通常用记号ij表示，则有：,应用切应力互等定理，应力张量ij又可表示为：,（2-3）,可见应力张量是一个对称的二阶张量。,已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。为此，围绕M点用平行坐标平面的三对平行面截取一微分单元体，再过此单元作一个与M点相距为无穷小的任意斜截面。截面ABC和过M点的单元体平面形成一个微分四面体，如图2-5所示。显然，截面ABC上的应力可以认为是过M点任意斜截面上的应力。,图2-5,x,o,z,N
6、,2斜截面的应力公式(Stress Equations on Oblique Plane),A,B,C,z,zy,zx,y,yx,yz,x,xy,xz,px,py,pz,pN,M,y,设截面ABC的外法线(Outward Normal)N与各坐标轴正向的夹角分别为(N,x)，(N,y)，(N，z)，则其方向余弦(Direction Cosines)分别为：,如果三角形ABC的面积为dA，那么根据平面图形面积投影定理，可得三角形MBC，MCA，MAB的面积为ldA ，MdA，NdA。研究微分四面体的平衡，,两边除以dA移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式,（2-4）,或缩写成
7、矩阵(Matrix)形式,（2-5a）,斜截面(Oblique Plane)的应力分量(Stress Components )为,或按下标记法与求和约定写为,式中 i：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方程中，各项的自由指标应相同。j：哑指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。,（2-5b）,令斜截面的正应力为N，切应力为N，则pN将的各分量px，py，pz向N方向投影即得,（2-6a）,将上式展开,（2-6b）,由图2-5可见：,因此，斜截面上的切应力由下式确定。,（2-7）,由此可见，
8、已知物体内任意一点处的六个应力分量，则应用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截面上的正应力和切应力。也就是说，已知一点处的六个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。,应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件,（2-8a）,或 :,（2-8b）,以上公式在推导过程中没有涉及物体材料的物理性质，因此上述各式，不仅适用于弹性力学，也适用于塑性力学等。,2.3 应力分量的坐标变换式Coordinate Transformation of the stress Components,设新坐标系x，y，z 对旧坐标x，y，z 的轴的方向余弦分别为，l1,m1,n1; l2,m2,
9、n2; l3,m3,n3 。用矩阵表示为,(2-9),显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的斜截面。例如，yMz平面是外法线为x轴的斜截面。根据(2-4)式可得该截面上的总应力PN沿原坐标轴方向的三个应力分量为,(2-10a),或写成,(2-10b),将 分别投影于 方向，可得沿新坐标系的正应力 ，切应力 和 。即,(2-10c),将式（2-10 b）代入式 (2-10c)， 即有：,(2-11),同理，可求得在以 和 轴为外法线方向的斜截面上的正应力和切应力分别为,和,因此，在新坐标系 中，表示M点的应力状态的应力张量表示为,(2-14a),(2-12),(2-13),当坐标变换按照(
10、2-14b)式变换时，(2-14b)式称为张量的解析定义式。式中i,j为自由指标，变化表示在新坐标系下的各应力分量，k,l为哑指标，lik, ljk 为新老坐标轴之间的方向余弦，i,j代表新坐标轴的轴号，k,l代表旧坐标轴的轴号。因此，已知一点处的应力分量,由式(2-11)、(2-12)、(2-13)或(2-14)式可以求得在新坐标系下的应力分量。当新旧坐标系下的应力分量ij和ij和满足(2-14b)式时， ij称为二阶应力张量。这种坐标变换关系可以推广到更高阶的张量，即,(2-15),为n阶张量的定义式。且张量的阶数就是自由指标的个数。,或采用张量的坐标变换定义式,(2-14b),2.4 主
11、应力 应力状态的不变量Principal Stresses & Stress Invariants,如图2-7所示，如果主应力 在 轴方向的应力分量分别为,过一点切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主平面的外法线方向称为主方向。为了建立复杂应力状态下的强度条件，必须研究物体内任意点的主应力和主方向。,(a),将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：,(2-15),式(2-15)是求主平面的方向余弦 的线性方程组。而它们不能同时为零。,(2-16),由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 有非零解，则系数行列式的系数必须等于零。令：,(2-17),展开行列式，并注意切应力互
12、等定理，得,（2-18）,(2-19),方程（2-18）为M点应力状态的特征方程，解方程可得三个实根，即主应力 ,且 ,同时，也存在三个互相正交的主平面。,为了求主方向，可将主应力值分别代入式(2-15)中的任意两个方程，并和(2-16)联立求解，可得三个主方向。例如：求 的的方向，将主应力 的值代入式(2-15)前两个方程得：,(b),(c),且从式(2-16)有：,(d),联解这三个方程可得与主应力 相应的方向余弦。,另一方面，因主应力 均为特征方程(2-18)的根，故又可将此方程表示为,(e),展开后有,与式（2-18）、（f）对照得：,(f),(2-20),由于主应力是表征应力状态的一
13、种物理量，它们与所采用的坐标系无关，故当坐标变换时， 是不变量，分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们不因为坐标变换而改变。,是过一点任意三个相互垂直截面上的正应力之和，它是一个常数且等于平均应力的三倍。应力状态的第二和第三不变量在塑性理论中有很重要的应用。同时，若给定了 ,也就等于给定了主应力 。,例2.1 已知一点的应力状态为,应力的单位为 。确定主应力的大小和最大主应力相对于原坐标轴的方向余弦。,解：从方程（2-20）有,因此，方程（2-18）成为,以上三次方程既可以通过数值方法求解，也有许多手算的方法求解上述问题。方程的三个根为,和,为了获得最大主应力对应的方向余弦，在此应用方
14、程(2-15)，将相关的应力值(例如:1=9Mpa)代入，我们有,使用上面任意两个方程和 ， 的值就可以确定。这样 对应的方向余弦就很容易确定。,例2.2 证明应力张量的第二不变量 ，当坐标变换时为一不变量(方向余弦之间的正交关系为： 或 ),证明：由二阶张量的定义式并结合如上正交关系：,于是得证。,根据张量的定义式:,2.5 应力状态的图解法(Graphic Method of the Stresses),已知三个主应力1， 2， 3 时，可以用几何的方法来表示方向余弦为l,m,n的任意斜微面N上的N和N。,将直角坐标系的三个坐标轴放在主方向上，如图2-8所示，于是有,则由式（2-6）可得该
15、截面上的正应力 为,(2-21),斜截面上总应力 沿着坐标轴方向的三个分量 由（2-4）式得：,(a),该截面上总应力 应为,斜截面上的切应力由(2-7)式可得,而且,(2-22),联解(2-21)、(2-22)和(c)可解出,(d),式(d)略做变化，可改写成如下形式,(b),(c),(d),考虑到 ，则由式(e)可得,(f),式(f)表明，在以正应力为横坐标，切应力为纵坐标的坐标系中，表示斜截面上应力 点，且位于图2-9中的阴影之内。,图2-9是三向应力状态时的应力圆，由图可见阴影部分内所有点的横坐标都小于B点，并大于A点的横坐标值。且所有点的纵坐标都小于G点的纵坐标值。于是正应力和切应力的极值分别为,(2-23),式(2-23)表明：, 过物体内一点任意斜截面上的正应力 介于 和 之间，也就是说，最大主应力 和最小主应力 是该斜截面上正应力的最大值和最小值。,
