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1、电 工 技 术,Electrical Engineering,电气与信息工程学院,学习要点,掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义了解用经典法分析一阶动态电路的方法了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件,第6章 一阶动态电路分析,6.1 换路定理6.2 一阶动态电路分析方法6.3 零输入响应和零状态响应6.4 微分电路和积分电路,第6章 一阶动态电路分析,6.1 换路定理,6.1.1 电路产生过渡过程的原因,电阻电路,电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。,电容为储能元件，它储存
2、的能量为电场能量 ，其大小为：,电容电路,储能元件,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。,稳态,暂态,储能元件,电感电路,电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。,稳态,暂态,结 论,有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。,无论是直流还是交流电路，在电路连接方式和元件参数不变的条件下，只要电源输出信号的幅值、波形和频率恒定，各支路电流和各部分电压将稳定在一定数值上，这种状态称为
3、电路的稳定状态，简称稳态。,研究过渡过程的意义：,过渡过程是一种自然现象, 对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。,所以描述动态电路的方程是微分方程。,可用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。本章着重于无源和直流一阶电路。,含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。,由于元件电容C和电感L的伏安关系是微分或积分形式，因此称为动态元件。通常用微分形式。,换 路,6.1.2 换路定理,电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化
4、等称为换路。,电容储存电场能,电感储存磁场能,换路定理,必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。,电容上的电压uC及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的，即：,电路中其他的电流和电压初始值该如何确定？,（1）换路后的t=0+瞬间，电容元件可视为电压为uc(0+)的恒压源，如果uc(0+)=0，则电容元件在换路后瞬间相当于短路。,（2）换路后的t=0+瞬间，电感元件可视为电流为iL(0+)的恒流源，如果iL(0+)=0，则电感元件在换路后瞬间相当于开路。,（3）利用KCL和KVL以及直流电阻电路的分析方法，计算电路在换路后换路后t=0+瞬
5、间其他电流和电压的初始值。,动态电路各时刻动态元件状态对比,t= 0+,t=0-,开路,电压源,短路,电流源,例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V，R1=10， R2=5，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。,解：,在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：,由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路,t=0-时的电路,因此t=0-时电容两端电压分别为：,由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。,t=0+时的电路,由图得：,例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。,解：由于在直流稳态电路中
6、，电感L相当于短路、,在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：,因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：,电容C相当于,开路，,t=0-时的电路,由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：,u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：,t=0+时的电路,练 习,P180 习题6.16.4,6.2 一阶动态电路的分析方法,任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。,因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。,1RC电路分析,图示电路，电容电压
7、初始值uC(0+)=U0， t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：,从而得微分方程：,而:,6.2.1 一阶动态电路的经典分析法,（1）非齐次方程的特解,特解与电源电压或电源电流具有相同的形式，由于是直流电路，所以特解是个常数。,即,可见特解等于电源电压，它是在电源作用下达到稳态时电容电压的稳态值，所以也称为稳态分量；又因为特解是在外加电源强制作用下产生的，故又称为强制分量。,（2）对应齐次方程的通解,设其解为,将上式代入齐次方程并整理得出该方程的特征方程为,特征根为,所以对应齐次方程的解是,由解的表达式可以看出，它只存在于暂态过程中，所以称为暂态分量，而且它的变化规律与电源的变化
8、规律无关，只按指数规律衰减，又称为自由分量。,由于RC具有时间的量纲，它也反映了指数衰减的快慢，所以称其为RC电路的时间常数。,记作,单位是秒（s）,（3）常系数非齐次方程的通解,电容电压初始值uC(0+)=U0，,所以积分常数为,（4）确定积分常数A,t=0+时有,从而电容电压随时间变化的规律为：,波形图,电路中的电流为：,电阻上的电压为：,iC与uR的波形,在同一个电路中，各处的电流和电压都按同一时间常数=RC的指数规律变化。,2RL电路分析,图示电路，电感电流初始值iL(0+)=I0， t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：,因为：,从而得微分方程：,（1）非齐次方程的特解,
9、特解与电源电压或电源电流具有相同的形式，由于是直流电路，所以特解是个常数。,即,即,这是电感电流的稳态分量；又称为强制分量。,（2）对应齐次方程的通解,设其解为,将上式代入齐次方程并整理得出该方程的特征方程为,特征根为,所以对应齐次方程的解是,这是电感电流的暂态分量，又称为自由分量。,由于L/R具有时间的量纲，它也反映了指数衰减的快慢，所以称其为RL电路的时间常数。,记作,单位是秒（s）,（3）常系数非齐次方程的通解,电感电流初始值iL(0+)=I0，,所以积分常数为,（4）确定积分常数A,t=0+时有,从而电感电流随时间变化的规律为：,波形图,电感两端的电压为：,电阻上的电压为：,在同一个电
10、路中，各处的电流和电压都按同一时间常数=L/R的指数规律变化。,经典法求解一阶电路的步骤：,（1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系，根据换路后的电路列出微分方程；,（2）求微分方程的特解，即稳态分量；,（3）求微分方程的补函数，即暂态分量；,（4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解；,（5）按照换路定理求出暂态过程的初始值，从而定出积分常数。,式中，U0为待求电压的初始值， US为待求电压的稳态值，为电路的时间常数。,电容电压随时间变化的规律为,对于RC电路，时间常数为：,式中， 为待求电压的初始值， 为待求电压的稳态值，为电路的时间常数。,对于RL电路，时间常数为：,电感电流随时间
11、变化的规律为,动态电路各时刻动态元件状态对比,t= 0+,t=0-,t= ,开路,电压源,开路,短路,电流源,短路,6.2.2 三要素分析法,求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素法公式为：,式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f()为待求电流或电压的稳态值，为电路的时间常数。,对于RL电路，时间常数为：,对于RC电路，时间常数为：,？,R怎样确定,例：图示电路，IS=10mA，R1=20k，R2=5k，C=100F。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。,解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电容C可看作开路，因此：
12、,（2）求稳态值。当t=时，电容C同样可看作开路，因此：,（3）求时间常数。将电容支路断开，恒流源开路，得：,时间常数为：,（4）求uC。利用三要素公式，得：,例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6，R2=3，L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。,解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电感L可看作短路，因此：,例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6，R2=3，L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。,（2）求稳态值。当t
13、=时，电感L同样可看作短路，因此：,（3）求时间常数。将电感支路断开，恒压源短路，得：,时间常数为：,（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：,练 习,P181 习题6.56.18,根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即：,6.3 零输入响应和零状态响应,6.3.1 一阶电路响应的分解,在前面的分析中，电路中的电流或电压是由一阶动态元件的初始储能和电源共同作用所产生的，我们称之为全响应。,全响应=稳态分量 + 暂态分量,根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即：,全响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状
14、态有关，而与激励无关。,零状态响应是初始状态为零时，由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。,6.3.2 一阶电路的零输入响应,1RC电路的零输入响应,图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，通过电阻R放电，在电路中产生放电电流iC。随着时间增长，电容电压uC和放电电流iC将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。,由初始值uC(0+)=Us，稳态值uC()=0，时间常数=RC
15、，运用三要素法得电容电压：,放电电流,放电过程的快慢是由时间常数决定。 越大，在电容电压的初始值U0一定的情况下，C越大，电容存储的电荷越多，放电所需的时间越长；而R越大，则放电电流就越小，放电所需的时间也就越长。相反，越小，电容放电越快，放电过程所需的时间就越短。,从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压uC才衰减到零，电路到达稳态。但实际上，uC开始时衰减得较快，随着时间的增加，衰减得越来越慢。经过t=(35)的时间，uC已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。,2RL电路的零输入响应,图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电感中已
16、有电流。在t=0时，开关S从位置1拨到位置2，使RL电路脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感由初始储能开始，通过电阻R释放能量。随着时间的增长，电感电流iL将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电感存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始状态所引起，故为零输入响应。,由初始值iL(0+)=I0，稳态值iL()=0，时间常数=L/R，运用三要素法得电感电流：,电感两端的电压,RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数来决定的。越大，暂态过程所需的时间越长。相反，越小，暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(35)的时间，iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。,6.3.3 一阶电路的零状态响应,1RC电路的零状态响应,图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电容没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2，RC电路接通电压源US。根据换路定理，电容电压不能突变。于是US通过R对C充电，产生充电电流iC。随着时间增长，电容电压uC逐渐升高，充电电流iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容电压等于US，充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。,
