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1、第4章 完全信息动态博弈及应用,本章讨论参与人不同时选择行动，但对博弈的结构具有完全信息的动态博弈问题。扩展型博弈模型是对它合适的刻画。对于信息完美的动态博弈模型,我们用子博弈精炼纳什均衡预测博弈的结果。作为完全信息动态博弈在经济中的应用，我们介绍了斯坦克尔伯格（Stackelberg）模型、价格领先博弈模型、银行挤提模型、关税国际市场不完全竞争模型、豪泰林(Hotelling)模型等。在补充材料中介绍了广告策略与产品质量博弈模型。最后，我们介绍了公共资源问题、重复博弈与鲁宾斯坦(Rubinstein)讨价还价模型。,4.1子博弈精炼纳什均衡,一个必须考虑的问题是，对于动态博弈模型而言，纳什均
2、衡是否为该博弈结果的合理预测。 考虑一个市场进入问题的例子。 市场进入问题 设房地产市场上有甲乙两个开发商。甲开发商首先决定开发还是不开发。乙在了解甲所选择的行动后，再决定开发还是不开发。博弈树如图4-1所示。,局中人甲的策略集合 开发或不开发， 局中人乙的策略集合 开发或不开发。 支付矩阵为： 该博弈有三个纳什均衡： 1.（开发，（不开发，不开发）； 2.（不开发，（开发，开发）； 3.（开发（不开发，开发）。 博弈的最终结局应出现哪个均衡，需要我们分析在这三个均衡中哪个合理，哪个不合理。 1（开发，（不开发，不开发）不是合理的纳什均衡。 2（不开发，（开发，开发）也不是合理的纳什均衡。 3
3、（开发，（不开发，开发）是合理的纳什均衡。,此均衡表示甲先采取开发的行动。乙的策略是，如甲开发，他就不开发；如甲不开发，他就开发。实际上，如甲开发，乙若开发利润为-3，乙若不开发利润为0。因此甲若开发，乙不开发为其理性的选择；如甲不开发，乙若开发，利润为1，乙若不开发，利润为0，因而开发为乙的理性选择。这说明乙的策略(不开发，开发)是可置信的策略。 从此例我们可以看到：在动态博弈中会出现多重纳什均衡的情形，而其中可能包含了不合理的均衡。我们面临的任务是如何剔除不合理的均衡除而精炼出合理的均衡。为此，需引入由泽尔腾（Reinhard Selten）提出的子博弈精炼纳什均衡的概念。,子博弈精炼纳什
4、均衡的定义 定义4.1 称扩展型博弈G的策略组合 为子博弈精炼纳什均衡，如果它限制在G的每个子博弈上都是该子博弈的纳什均衡。 因为每个博弈都是自己的子博弈。因而子博弈精炼纳什均衡必为纳什均衡，但纳什均衡不一定是子博弈精炼纳什均衡。对于具有完美信息的扩展型博弈模型，我们用子博弈精炼纳什均衡预测博弈的结果。 子博弈精炼纳什均衡的存在性 定理4.1（Zormello 1931，Kuhn 1953） 有限、完美信息的扩展型博弈必存在纯策略意义下的子博弈精炼纳什均衡。,逆序归纳法如下 假设已知的扩展型博弈共分k步完成。 1.对于第k步上的信息集，选择行动，使相应的参与人支付值最大，并将由此信息集出发达到
5、的终点的支付向量赋值给该信息集对应的决策的节点。 2.利用第k步上节点的赋值，对属于k-1步的信息集所对应的节点同样赋值。由于博弈是有限的，必可在有限步内使博弈树所有节点都赋与了支付值。 3.将具有相同支付值的相邻接的节点与终点用粗线连接起来，即可得到已知扩展型博弈的子博弈精炼纳什均衡。 节点上的赋值给出了从此节点出发的子博弈的纳什均衡支付结果。特别， 点支付值给出了整个博弈的子博弈精炼纳什均衡的支付结果。 逆序归纳法实际是从最后阶段的博弈开始，序贯地求子博弈的纳什均衡的过程。,例4.1 再考虑房地产开发问题。博弈树上每个节点的赋值如图4-2所示。可得子博弈精炼纳什均衡：（开发，（不开发，开发
6、）。不开发,例4.2 求如图4-3所示的扩展型博弈的子博弈精炼贝叶斯均 衡 1.对 对应的节点赋值 ； 2.对 对应的节点赋值 ； 3.对 对应的节点赋值 ，用粗线连接具有相同赋值的节点. 如图4-4所示，子博弈纳什均衡为 。即局中人1处于信息集 上时，选行动U，处于信息集 上时，选行动 ；局中人2在其信息集 上选择行动L。 两局中人都执行这种策略组合中的相应策略，可分别得到支付值2与0。,图 4-3,T,U,I,图 4-4,T,U,L,R,D,D,D,D,U,U,R,L,例4.3 求由图4-5 所示的扩展型博弈的子博弈精炼纳什均衡 1.对 对应的节点赋值 ， ； 对 对应的节点赋值 ， ；
7、2.对 对应的节点赋值 ， 。 3.用粗线连接具有相同赋值的节点，得到子博弈精炼纳什均衡 ， ， ， ，见图4-6。,L,4.2斯坦克尔伯格双寡头垄断模型,斯坦克尔伯格（Stackelberg,1934）将古诺模型动态化提出一个双寡头垄断模型，博弈时序如下： 1.企业1选择产量 ； 2.企业2观察到 ，然后选择产量 ； 企业 的利润函数为 = ， 。 其中， 为市场产品供给总量, 为价格函数, 为企业 的成本函数。设 C为凸函数。 斯坦克尔伯格模型 斯坦克尔伯格模型可以归结为 ， ， 的信息完全且完美的动态博弈模型。故可用逆序归纳法求解子博弈精炼纳什均衡,用t表示阶段变量,. 企业2观察到企业
8、1的产量 ,选择产量 ，最大化利润函数 ,即对于固定的 求解最大化问题： 由于 关于 是凹函数，故 1阶条件对于最大化 而言是充要条件。由 有： （1） 从（1）可解得企业2关于企业1的反映函数,.企业1预期到企业2的反映函数 选择 ,最大化自己的利润函数,即求解最大化问题： 1阶条件为： （2） 联立（1）、（2）两式，可解出子博弈精炼纳什均衡。 特别，当 ， 。且 由（1）式可得 企业2关于企业1的反应函数 。,由（2）式可得 。故斯坦克尔伯格的子博弈精炼纳什均衡为： ， 。 当两个局中人都执行该均衡中的策略时，可得均衡结果 ， 。 先动优势 特别地，当 时，两个均衡结果为 ， 。可以算出
9、企业1的利润为 ， 企业2的利润为 ， 故有 。 由于企业1是首先行动的，我们称企业1具有先动优势。这个先动优势是在特殊的价格函数与成本函数下得出的，但我们可以证明有关先动优势的一般性结论。,命题4.1 假设 . 是 的严格递减函数， 是 的严格递减函数。 . 反应曲线向下倾斜,即 严格递减， 。 则企业总是偏好于领头企业，而不是跟随企业。,4.3 价格领先博弈模型,价格领先博弈问题 设市场上有两家企业生产不同质的产品，但两种产品有较强的替代性。一个企业首先制定产品价格，另一个企业看到这个价格后，再选择自己产品的价格，这时两个企业进行动态价格竞争博弈。设企业1先行，企业2跟随。我们仍可用逆序归
10、纳法求子博弈精炼纳什均衡。 价格领先博弈模型的子博弈精炼纳什均衡 .企业2已观察到 ,选择 ,使自己利润最大,即求解最大化问题： 可解得反应函数： 。 .在博弈的第1阶段，企业1预期到企业2的价格反应函 数 ，选择价格 ，使其利润最大，即求解 解得 。 从而得到子博弈精炼纳什均衡以及均衡结果 ,价格领先博弈问题的先动与后优势 命题4.2 设 关于 递增， 。 1.若企业的反映曲线向下倾斜，价格领先仍被企业所偏好。 2.如果两个企业具有向上倾斜的反映曲线，若有一个企业偏好于价格领先，另一个企业必然偏好于价格跟随. 3.如果两个企业的成本、需求函数相同，且反应曲线向上倾斜，每个企业都偏好价格跟随。
11、,例4.4 设在价格领先博弈模型中，两个企业的需求函数分别为 ,具有相同的成本函数 。 ,企业观察到了 ，求 ，最大化自己的利润函数 由1阶条件 ，可得向上倾斜的反应函数 ，企业1预期到 ，选择 ，最大化 由1阶条件 ，解得 。 代入参与人2的价格反应函数得 。 可计算出 ， 。易见， ，后动优势成立。,4.4具有同时选择的两阶段动态博弈,具有同时选择的两阶段动态博弈模型时序如下： 1.局中人1和同时从自己的行动集合 中选择行动 和 。 2.局中人和观察到 ，然后同时从自己的行动集 和 中选择行动 。 3.对于选出的行动 ,局中人 获得支付 。 该博弈中每个参与人在选择行动时对博弈的历史完全了
12、解，因而是信息完美的动态博弈模型。在这个博弈中，参与人1，2的策略与行动等同。参与人3，4的策略是 的映射，即 ， , ， 。 许多经济学问题都符合以上特点，下面给出两个例子。,4.4.银行挤提问题 设有两个投资者，每人存入银行一笔存款D，银行将这笔存款投资于一个长期项目。如果在该项目到期之前，存款人提前支取、银行被迫变现，共可收回 。这里 。 如果银行等待长期项目到期支取，可回收 ， 。 设有个提款日期， ,项目到期前，两个投资者都提款，则每人可得r；如果只有1个投资者在t=1提款，他可得D，另一人得2r-D。 如果两人都未在t=1提款，在 t=2，两人都提款，则每人得R；如果只有一个人在t
13、=2提款，他得2R-D， 另一人得D；如果t=2时，两个投资者都不提款，银行向每个投资者返还R。 该博弈的博弈树如图4-7所示.,用逆序归纳法求解 ，考虑子博弈： 纳什均衡为（提款，提款）。 当 ，考虑博弈： 可得两个纳什均衡:（提款,提款）,（不提款,不提款）。 故可得出两个子博弈精炼纳什均衡路径（结果） 1（提款，提款），支付函数值为 ； 2（不提，不提，提款，提款），支付值为 。,4.4.2 关税和国际市场的不完全竞争问题 设有两个国家，每个国家各有1个企业，分别称为企业1、企业2。 生产既可内销、又可出口的同质产品。两个国家中的消费者在各自国家的市场上购买本国产品或外国产品，引入以下记号。 1.
