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1、1,第四章 根轨迹法（1）,2,第四章 根轨迹法,系统动态响应的基本特征是由闭环极点的位置决定的。 根轨迹法：在已知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某一个参数变化时，对系统闭环极点在S平面上变化的轨迹。 4.1 闭环系统的轨迹,3,4.1.1 根轨迹的定义 闭环传递函数： 闭环特征方程： 或,第四章 根轨迹法,4,第四章 根轨迹法,设 令 由 得 即根轨迹方程。当Kr从0，闭环系统特征根的轨迹就是根轨迹。,5,第四章 根轨迹法,如果关心的是其他参数a，要将特征方程化为如下形式 1aP(s)=0 例4-1 单位反馈系统的开环传递函数如下，画出以a为参变量的根轨迹。 解：系统的特
2、征方程,6,4.1.2 根轨迹的幅值条件和相角条件 闭环特征方程： 由于其s是复数，可用向量表示，将其分成两个方程。 幅值条件： 相角条件： 也可写为：,第四章 根轨迹法,7,用零极点形式 幅值条件 相角条件：,第四章 根轨迹法,8,第四章 根轨迹法,例 设一系统 闭环传递函数： 特征方程的根：,9,若参变量K1从0变化时，特征方程根的变化情况如表 根轨迹图以系统增益K1 为参变量，当K1由0时， 系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。 根据此图可分析参数K1变化 对系统特性的影响。,第四章 根轨迹法,10,当K1=0 , 系统的开环极点就是闭环极点。 K10.25 ,闭环极点在负实轴(0,-1
3、)区间,为两个负实根. K1=0.25时两个负实根相等s=-0.5。 K10.25 ,闭环极点是两个具有负实部的共轭复根.随着K1增大,特征方程根的轨迹沿着s=-0.5垂直与实轴的直线趋向无穷远.,第四章 根轨迹法,根轨迹上任意点满足根轨迹的幅值条件和相角条件.反之凡是满足根轨迹的幅值条件和相角条件的点必定是根轨迹上的点.,11,第四章 根轨迹法,-1 -2 = -,12,根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。 高阶系统，用解析的方法绘制统根轨迹图很繁琐。 简便的图解方法，根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。 为此需要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。,第四章 根轨
4、迹法,13,凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环极点(特征方程根)。这些s值构成系统根轨迹关键找出这些s点。通常： （1）寻找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线， （2）用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的Kr值。 工程上定义： （1）当 0 K1 + 时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。 （2）当 K1 + 时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。,第四章 根轨迹法,14,4.2 绘制根轨迹图的基本规则 以Kr为参变量绘制根轨迹的基本规则。 1.根轨迹的分支数，根轨迹的起点和终点 根轨迹的分支数等于开环的极点数。 起点（Kr= 0 ）：起始于开环传递函数的极点； 终点（Kr）：终止于开
5、环传递函数的零点。包括m个 有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。 当Kr = 0 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。,第四章 根轨迹法,15,第四章 根轨迹法,由根轨迹方程 当Kr= 0时，,-,起点：,说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。,16,第四章 根轨迹法,终点： （1）当Kr时， 有 m 条根轨迹终止于开环传递函数的m个有限零点。把这 m 个零点称为系统的有限零点。 （2）当s时， 有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。把无穷远处的零点称
6、之为无限零点。,17,一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支。 综上所述： n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。分支数必等于开环的极点数或系统的阶数n 。 每个开环极点都对应根轨迹的一个起点 系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。,第四章 根轨迹法,18,第四章 根轨迹法,例4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。,解：系统的特征方程,19,第四章 根轨迹法,20,第四章 根轨迹法,2、根轨迹在实轴上的分布 实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。 实轴上某点s1,它到左边的极
7、点向量(s1+pj)和零点向量(s1+zi)的相角都是0，到复数零、极点的相角之和也是0，它到右边的零、极点向量的相角都是。由根轨迹的相角条件，根轨迹的右边的零、极点个数之和必为奇数。,21,第四章 根轨迹法,在s=0与s=-z1之间的实轴上 任取一个试验点s1加以説明。,s1+p2,s1+z1,s1+p1,s1,22,第四章 根轨迹法,23,3、根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴。 特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。,第四章 根轨迹法,24,4、根轨迹的渐近线 Kr时，根轨迹沿着渐近线趋向开环无限零点。 渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。 渐近线与实轴的夹角： 渐近线
8、与实轴的交点（渐进中心）：,第四章 根轨迹法,25,第四章 根轨迹法,幅角条件： 当s时，零点-zi、极点-pj与s矢量相角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。,（1）根轨迹渐近线的倾角,26,幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成：,（2）渐近线与实轴的交点,第四章 根轨迹法,27,第四章 根轨迹法,上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点,28,第四章 根轨迹法,29,第四章 根轨迹法,例：已知： 试画出根轨迹的大致图形。 解：按根轨迹绘制的规则： （1）分支数： n=3，起点：0，-1，-2；终点：，。 （2）根轨迹在实轴上的分布： 0与-1，-2与-之间。 （3）根轨迹对称于实轴。 （4）渐近线：因为本系统中，n=3,m=0，所以渐近线共有3条。渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点：,30,第四章 根轨迹法,31,第四章 根轨迹法,
