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1、1,9.4 梁的变形,杆的拉压,9.4.1 梁的挠度和转角,梁在xy平面内弯曲。,挠曲线：弯曲后梁的轴线。,伸长或缩短 DL,轴的扭转,单位扭转角 q,挠度y：梁弯曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。,转角q：各截面转过的角度(角位移)，q=q(x)。 即 x处挠曲线的切线与x轴的夹角。,2,9.4.2 挠曲线微分方程,x处的截面转角q(x)等于挠曲线在该处的斜率。,挠曲线方程: y=y(x)，微分得,弹性理论精确分析指出，梁的跨高比 L/h10时， 剪力对弯曲变形的影响可忽略不计。 故上式可应用于横力弯曲的普遍情况。,3,z,正负？,y(x)向上凹,y(x)递增,y(x)0,y(x)应与
2、M(x) 同号， 挠曲线近似微分方程为：,4,挠曲线近似微分方程为：,9.4.3 用积分法求梁的变形,即：,EI是梁的抗弯刚度。对于一段等刚度梁，积分有：,挠曲线微分方程：,转角方程：,挠度方程：,5,铰链：,x=0, y=0 x=L, y=0,x=L, y=0 x=L, q=0,静定梁 平面问题,6,挠曲线微分方程：,转角方程：,挠度方程：,汇总 ： 用积分法求梁的变形,静定梁总有二个变形约束边界条件，确定积分常数。,M(x)不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠度、转角连续，可确定增加的常数。,梁的弯曲变形是客观存在的，总有唯一解。,7,例9.14 受均布载荷的悬臂梁如图，试求其挠曲线方
3、 程、转角方程、及自由端B的挠度和转角。,3. 挠曲线微分方程,解: 1. 求支承反力,转角方程,挠度方程,2. 列弯矩方程: SMC=0 M(x)=qLx-qL2/2-qx2/2,8,5 . 代入挠曲线方程和转角方程，求得C1=C2=0。,4. 边界条件（固定端）: x=0处， qA=0， yA=0,转角方程,挠度方程,9,例9.15 试给出图示简支梁的挠曲线方程和转角方 程，并求确定梁的最大挠度和最大转角。,解：1. 求支反力:,2. 列弯矩方程:,3. 写挠曲线微分方程并积分:,AC段: 0 x a M1(x)=FAx=Fbx/L,CB段: a x L M2(x)=Fbx/L-F(x-a
4、),FA=Fb/L; FB=Fa/L,10,3. 写挠曲线微分方程并积分:,AC段: 0 x a M1(x)=Fbx/L,CB段: a x L M2(x)=Fbx/L-F(x-a),11,4. 确定积分常数:,最后得到： C2=D2=0； C1=D1=Fb(b2-L2)/6,12,5. 求最大转角:,q 取极值的条件是: dq/dx=M(x)/EIz=0，二端M(x)=0,13,5. 求最大挠度: (ab),x=0处：,x=L处：,令q 2=0，得到的解将不在a, L内。,14,挠度,5. 求最大挠度: (ab),15,汇总：,转角,最大挠度值：,挠度最大处：x1=L/2,变形与载荷间是线性关
5、系!,16,问题讨论：,分几段？,边界条件,连续条件,A处： yA=0 B处： yB=0,AB、BC二段,A处： yA=0 B处： yB=0， qB =0,分AC、CD、DB三段。,17,转角方程：,挠度方程：,进一步讨论 ： 梁的变形、载荷微分关系,剪力方程：,载荷方程：,q 为零处， FQ取极值； FQ为零处，M取极值； M为零处， q 取极值； q 为零处， y取极值；,无为零处，极值在端点处。,18,再讨论: 线性叠加方法,在线弹性小变形条件下， s=Ee， 变形与载荷间有线性关系。,图(a)=图(b)+图(c),若要求图(a)中的yC、qB，有： yC=yC1+yC2 ; qB=qB
6、1+qB2 即可由已知简单情况的解，用叠加方法求复杂载荷情况下的变形。,19,*例9.16 简支梁AB受二集中力作用，求梁在中点C处的挠度与梁二端的转角。,解：利用前例的结果，有,20,已有结果：,21,已有结果：,22,情况一：,23,B=Pl2/16EI, fc=-Pl3/48EI,B=- mBl/3EI, fc=mBl2/16EI,B= Pl2/16EI - mBl/3EI, fc=mBl2/16EI -Pl3/48EI,24,B=-5 Pl2/8EI, fc=-21Pl3/48EI,25,除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件： ； y、q分别为构
7、件的许用挠度和许用转角。 一般主要是控制挠度。,9.4.4 梁的刚度条件,26,例9.14中矩形截面梁h/b=2。若q=10kN/m ，L=3m，E=200GPa，s=120MPa，y=L/250，试设计截面。,解: 1. 求支承反力,FA=qL=30kN， MA=-qL2/2=45kN.m,27,3. 按刚度条件设计,自由端(B处)的挠度最大：,刚度条件为：,即：,有：b=max 8.25，8.92 9cm， h=18cm。,得到：,28,讨论：如何提高梁的强度和刚度,强度条件:,刚度条件:,措施： 降低 Mmax 提高Wz、Iz,加复梁,载荷均布,悬臂梁,降低 Mmax：,增加支点,29,提高Wz、Iz：,截面设计应尽可能使材料远离中性轴z。,拉压性能不同时，截面上下缘应同时达到许用应力。,讨论：如何提高梁的强度和刚度,EI是抗弯刚度，提高E，当然可以增加刚度、减少变形。但钢材E相差不大。,
