《概率论与数理统计第3版 教学课件 ppt 作者 宗序平 概率统计3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第3版 教学课件 ppt 作者 宗序平 概率统计3.2（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性,3.2.边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性,二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)描述了,X,Y这两个随机变量组成的整体的统计规律.,这个整体是由X和Y组成的, 所以在(X,Y)的分,一、边缘分布函数,问题：由(,)的分布导出或的分布,FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分,布函数F(x, y)中, 包含了关于X和Y的一切信息,也包含了X与Y之间关系的一切信息. 我们称,其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y),关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作,布函数F(x, y)来确定.,称为二维随机变量(
2、X, Y)关于Y 的边缘分布函数.,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,定义,例1.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,1、离散型r.v.的边缘分布,则其分布函数为,若随机变量X与Y的联合分布律为,(X, Y)关于X的边缘分布律,其中,同理：,(X, Y)关于Y的边缘分布律,例2.已知(X,Y)的分布律为,XY 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j,X 0 1 Y 0 1 P 3/5 2/5 P 3/5 2/5,2/5,3/5,2/5,3/5,XY 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10,求X、Y的边缘分布律
3、。,解：,边缘分布律为,称,为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；,设(X, Y)f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布函数,则,2、连续型r.v.边缘分布,例3. 证明: N(1, 12; 2, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,同理，称,同理,例4.设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c; (2)求关于X,Y的边缘概率密度.,解:(1)由规范性,例5 设(X, Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概
4、率密度.,二、条件分布 1. 离散型随机变量的条件分布律,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的边缘分布律分别为,X|Y=-1 -2 0 P 3/4,为Y yj的条件下，X的条件分布律;,若对固定的j, p.j0, 则称,同理，对固定的i, pi. 0, 称,为X xi的条件下，Y 的条件分布律;,P,P,2 连续型随机变量的条件分布,函数定义为,亦记为,设随机变量(X, Y)的分布函数为,若记为Xx条件下关于Y的条件密度函数,同理,例7.已知(X,Y)的概率密度为,(1)求条件概率密度,(2)求条件概率,解:,解、由
5、Ex3知，,例8 (X,Y) N(1, 12, 2, 22, ),求,三、随机变量的相互独立性,定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y),称随机变量X与Y独立.,1.离散型r.v.的独立性,定理1.离散型r.v.(X,Y)的概率分布为,则X, Y 独立的充分必要条件为,其中,证明,根据定义X,Y 独立的充分必要条件为:,Ex9、 r.v.(X,Y) 分布律,显然有,因此 X,Y相互独立。,讨论 X,Y独立性？,定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是,f(x, y)=fX(x) fY(y),证明,2、连续型随机变量的独立性,根据定义X,Y
6、 独立的充分必要条件为:,其中h(x), g(y)分别为x, y函数.,推论 设(X,Y)是连续型随机变量，f (x, y)为(X, Y)的 概率密度函数，则随机变量X, Y独立的充分必要条 件为,f (x, y)h(x) g(y),f(x, y)=fX(x) fY(y),EX10,已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。,例11 设(X,Y)服从N(1, 12 , 2, 22, )，证明 X与Y相 互独立的充要条件是0.,证明 必要性: (X, Y)的概率密度函数为,关于X及Y的边缘概率密度为：,因X, Y相互独立, 则,当x= 1, y 2时, 有,充分性 当 0时
7、, 显然对于任意的x, y均成立,则X,Y相互独立.,四n维随机变量的边缘分布与独立性,定义：对任意的Borel点集B1,B2, Bn,有,则称X1,X2,Xn相互独立。,结论1 设n维随机变量(X1，X2，Xn)的分布函数为F(x1,x2,xn), (X1,X2,Xn)的k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1，X2）的边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2)=F(x1,x2,.) 若关于Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n.,则X1,X2,.Xn 相互独立。,则离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,结论2 (1)对于离散型随机变量的情形，若对任意整,
8、(2) 设X1，X2，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 几乎处处成立，则X1，X2，Xn相互独立。,结论3 设n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.xn)；m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的分布函数为FY(y1,y2,ym), X1,X2,Xn, Y1,Y2,Ym组成的n+m维随机变量（X1, X2,Xn, Y1,Y2,Ym)的分布函数为F (x1,x2,.xn, y1,y2,ym).,则n维随机变量(X1,X2,Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,Ym)
9、独立。,如果,F (x1,x2,.xn ,y1,y2,ym)= FX(x1,x2,.xn) FY(y1,y2,ym),定理1 设 (X1,X2,Xn) 与 (Y1,Y2,Ym) 相互独立,则,(1)Xi (i=1, 2, , n)与Yj (j=1, 2, , m)相互独立；,(2)若h, g是连续函数，则h(X1,X2,Xn)与 g(Y1,Y2,Ym)相互独立.,Th2 设X1,X2,Xn为相互独立的随机变量，则,也是相互独立的，这里,是任意的一元Borel可测函数。,例12 设(X,Y)为二维连续型r.v.，满足 （1）X与Y相互独立且概率密度分别为,（2）X与Y的联合概率密度为f(x,y)=g(x2+y2),则X与Y服从正态分布。,证明,令,代入,则X与Y服从正态分布。,总结,一、边缘分布,二、条件分布,三、随机变量的相互独立性,四n维随机变量的边缘分布与独立性,
