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1、第2讲 不等式选讲,专题七 系列4选讲,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)0)af(x)a. (3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.,热点一 含
2、绝对值不等式的解法,解答,例1 (2018乌鲁木齐模拟)设函数f(x)|2xa|5x，其中a0. (1)当a3时，求不等式f(x)5x1的解集；,解 当a3时，不等式f(x)5x1即为 |2x3|5x5x1， |2x3|1， 解得x2或x1. 不等式的解集为x|x1或x2.,解答,(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值.,又a0，,解得a3.,(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点；划区间、去绝对值符号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值. (2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁
3、直观，是一种较好的方法.,解答,跟踪演练1 (2018河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式f(x)3；,解得1x1. 即不等式f(x)3的解集为 x|1x1.,解答,(2)若函数g(x)|2x2 018a |2x2 019|，若对于任意的x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.,热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题,定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立. 定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.,解答,例2 (2018江西省景德镇市第一
4、中学模拟)已知函数f(x)|x1|2x3|. (1)解不等式f(x)2x10；,由f(x)2x10，,解答,(2)若不等式f(x)m|x2|有解，求m的取值范围.,解 若x2，显然无解；,m1.即m的取值范围是1，).,绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)的形式. (2)转化最值：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a有解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)mina. (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值. (4)得结论.,解答,跟踪演练2 (2018上饶模拟)已知函数f(x)|3
5、x1|3xk|，g(x)x4. (1)当k3时，求不等式f(x)4的解集；,解 当k3时，f(x)|3x1|3x3|,故不等式f(x)4可化为,解答,由k1，得3x10,3xk0，f(x)1k， 不等式f(x)g(x)可变形为1kx4，,1.含有绝对值的不等式的性质 |a|b|ab|a|b|. 2.算术几何平均不等式 定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.,热点三 不等式的证明,例3 (2018山东省名校联盟模拟)已知函数f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式f(x)3；,于是由f(x)3，,解得1x1， 即不等式f(x)3的解集为x|1x1.,解答,证明,又因为
6、当xR时，,故g(x)min3.,(1)作差法是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤： 作差；分解因式；与0比较；结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧.,跟踪演练3 (2018石家庄模拟)已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)6的解集. (1)求集合M；,解答,解 f(x)|3x1|3x1|6.,综上，f(x)6的解集Mx|1x1.,证明,(2)若a，bM，求证：|ab1|ab|.,证明 (ab1)2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab) a2b2a2b21(a21)(b21). 由a，bM，得|a|0， |
7、ab1|ab|.,真题押题精练,1.(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；,真题体验,解答,解 当a1时，不等式f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当x1时，式化为x23x40，无解； 当1x1时，式化为x2x20， 从而1x1；,(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求实数a的取值范围.,解答,解 当x1,1时，g(x)2， 所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于 当x1,1时，f(x)2. 又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一， 所以f(1)2且f(1)2，得1a
8、1. 所以a的取值范围为1,1.,2.(2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明： (1)(ab)(a5b5)4；,证明,证明 (ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24.,证明,(2)ab2.,证明 因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab),所以(ab)38，(当且仅当ab时，等号成立) 因此ab2.,押题预测,押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐.,1.已知函数f(x)|x2|
9、2xa|，aR. (1)当a1时，解不等式f(x)4；,解答,押题依据,解 当a1时，f(x)|x2|2x1|. 由f(x)4，得|x2|2x1|4. 当x2时，不等式等价于x22x14，,解得x1，所以1x2；,解得x1，所以x1. 所以原不等式的解集为x|x1或x1.,解答,(2)若x0，使f(x0)|x02|3成立，求a的取值范围.,解 应用绝对值不等式，可得 f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.(当且仅当(2x4)(2xa)0时等号成立) 因为x0，使f(x0)|x02|3成立， 所以(f(x)|x2|)min3， 所以|a4|3，解得7a1， 故实数a的取值范围为(7，1).,押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点.本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值.,解答,押题依据,当且仅当xy2时取等号.,只需不等式|a2|a1|1成立即可.,构造函数f(a)|a2|a1|， 则等价于解不等式f(a)1.,所以解不等式f(a)1，得a0. 所以实数a的取值范围为(，0.,解答,解 因为x，yR，xy4， 所以y4x(0x4)， 于是x22y2x22(4x)2,
