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1、【MeiWei81-优质实用版文档】1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mNG)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nNG)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panq
2、bn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mNG)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nNG，都有2an1
3、anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()1(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1B0C1D6答案B解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.2(20XX福建)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8B10C12D14答案C解析由题意知a12，由S33a1d12，解得d2，所以a6a15d2521
4、2，故选C.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58B88C143D176答案B解析S1188.4设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7等于()A14B21C28D35答案C解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5(20XX北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大答案8解析因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nNG有2an
5、112an，则数列an前10项的和为()A2B10C.D.(2)已知在等差数列an中，a27，a415，则前10项和S10等于()A100B210C380D400答案(1)C(2)B解析(1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以S1010(2).(2)因为a27，a415，所以d4，a13，故S101031094210.思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想(1
6、)(2015课标全国)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5等于()A5B7C9D11(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A.B1C2D3答案(1)A(2)C解析(1)an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a35.故选A.(2)Sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列an中，a1，an2(n2，nNG)，数列bn满足bn(nNG)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明因为an2(n2，nNG)，bn(nNG)，
7、所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，则an11.设f(G)1，则f(G)在区间(，)和(，)上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.引申探究例2中，若条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，探求数列an的通项公式解由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2
8、a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nNG)，则该数列的通项为()AanBanCanDan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，
9、a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案(1)10(2)60解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S30301021030，S3
10、060.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，1020d1520d，d.方法一由an20(n1)n.得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.方法二Sn20nn2n2.nNG，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.引
11、申探究例4中，若条件“a120”改为a120，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值解由S10S15，得a11a12a13a14a150，a130.又a120，a120，当n12或13时，Sn取得最小值，最小值S12S13130.思维升华(1)等差数列的性质：项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则aS2nn(a1a2n)n(anan1)；bS2n1(2n1)an.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前n项和的
12、函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：a当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；b当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A5B6C7D8(2)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5B6C5或6D11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_答案(1)B(2)C(3)110解析(1)依题意得2a64,2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B.(2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1d20n2n221n22，又因为nNG，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.6等差数列的前
