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1、1.3.2 含有一个量词的命题的否定,第1章 1.3 全称量词与存在量词,1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 全称命题的否定 全称命题p：xM，p(x)， 它的否定綈p： . 知识点二 存在性命题的否定 存在性命题p：xM，p(x)， 它的否定綈p： . 知识点三 全称命题与存在性命题的关系 全称命题的否定是 命
2、题. 存在性命题的否定是 命题.,答案,xM，綈p(x),xM，綈p(x),存在性,全称,思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.,答案,返回,(2)对省略量词的命题怎样否定？,答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题.反之，亦然.,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 全称命题的否定 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都
3、平行； 解 其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)a，bR，方程axb都有惟一解； 解 其否定为：a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.,反思与感悟,反思与感悟,全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.,解析答案,跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2
4、)p：所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x120的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根. (4)p：对任意实数x，x210.,解析答案,题型二 存在性命题的否定 例2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：x1，使x22x30；,解 綈p：x1，x22x30.(假).,反思与感悟,(2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).,反思与感悟,存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中
5、的量词和判断词.即p：xM，p(x)成立綈p：xM，綈p(x)成立.,解析答案,跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.,解析答案,题型三 存在性命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由； 解 不
6、等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可. 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,解析答案,反思与感悟,(2)若存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围. 解 不等式mf(x)0可化为mf(x)，若存在一个实数x，使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4. 所求实数m的取值范围是(4，).,反思与感悟,对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(
7、x)恒成立，只需af(x)max；若存在一个实数x，使af(x)成立，只需af(x)min.,解析答案,跟踪训练3 已知f(x)3ax26x1(aR). (1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0； 证明 当a3时，f(x)9x26x1， 364(9)(1)0， 对任意xR，都有f(x)0.,解析答案,(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围. 解 f(x)4x恒成立， 3ax22x10恒成立，,解析答案,易错点,含有一个量词的命题的否定,返回,解后反思,例4 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)正方形都是菱形； (2)xR，x24x30.,分析 (1)是
8、省略了全称量词的全称命题，其否定是存在性命题.(2)是存在性命题，其否定是全称命题. 解 (1)有的正方形不是菱形.假命题. (2)xR，x24x30恒成立.假命题.,解后反思,含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命题是_. 解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实数根.,对任意的实数m，方程x2mx10无实数根,解析答案,1,2,3,4,5,2.设xZ，集合A是奇数集，集
9、合B是偶数集.若命题p：xA,2xB，则綈p为_. 解析 命题p：xA,2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为xA,2xB.,xA,2xB,1,2,3,4,5,答案,3.对下列命题的否定说法错误的是_. p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数； p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形； p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形； p：nN,2n100；綈p：nN,2n100. 解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故错误.,解析答案,1,2,3,4,5,4.命题“x0，)，x3x0
10、”的否定是_. 解析 全称命题的否定是存在性命题. 全称命题：x0，)，x3x0的否定是存在性命题：x0，)，x3x0.,x0，)，x3x0,解析答案,1,2,3,4,5,5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_. 解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题“有的向量与零向量不共线”.,有的向量与零向量不共线,课堂小结,返回,1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.,
