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1、力 学,主讲人：戴占海 QQ：13576003 E-Mail： Website：http:/beijingfushe.physchina.org/,刚体运动学,刚体对定轴的角动量,力矩 转动定律,力矩的功 转动动能定理,刚体的角动量守恒定律,刚体的转动,刚体：在任何外力作用下其形状和大小都不改变,平动和转动,角位置、角位移、角速度和角加速度,线量和角量的关系,刚体转动的运动学方程,刚体运动学,平动：刚体运动时，其上任意一条直线始终与初始位置平行,转动：刚体运动时，其上各点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线为转轴，若转轴在所选参考系中的位置和方向不变，该转动就是定轴转动,平动和转动,刚体的运动形
2、式：平动、转动 .,刚体的平动,刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相似的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的平动规律便可以全知道。事实上，常常利用质心的运动来了解物体平动规律。,平动和转动,刚体的一般运动,蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动,平动和转动,刚体定轴转动的描述,刚体定轴转动的特征,1)、刚体上各质点都在垂直于固定转轴的平 面内作圆周运动。,2)、各质点作圆周运动的 半径在相同的时间内转过 的角度相同。,所以刚体中所有质点都 具有相同的角位移、 角速度、角加速度。,、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向
3、，可以用标量代替。,角位置、角位移、角速度和角加速度,角位置,角位移,角速度,角加速度,、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。,线量和角量的关系,刚体转动的运动学方程,角加速度为恒量,角加速度不是恒量,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速
4、度 .,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例2 在高速旋转的微型电机里, 有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转. 开始起动时, 角速度为零. 起动后其转速随时间变化关系为： ,式中 . 求：(1) t = 6s 时电动机的转速(2)起动后, 电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数. (3)角加速度随时间变化的规律,(2),解: (1) 将 t = 6s 代入得,(3),（角加速度指数衰减）,例3 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时
5、间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令 ，即 ，积分,得,当t=300s 时,所以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转数,问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？,圆盘静止不动,圆盘绕圆心转动,力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.,力矩 转动定律,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,力矩：,大小：,
6、方向：右手螺旋定则,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩,3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.,力矩 转动定律,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,Fit+fit= miait= miri,切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直,两边乘以ri ,有：,Fit ri +fit ri = miri2,对所有质元的同样的式子求和：,Fit ri +fit ri =miri2,一对内力的力矩之和为零，所以有,Fit ri = （miri2）,即 MJ ,刚体定轴转动的转动定律：,力矩 转动定律,刚体绕固
7、定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力矩方向相同,转动惯量,物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，是维持转动状态不变的原因,决定转动惯量大小的因素：,与刚体的质量有关；,与转轴的位置有关,与刚体的质量分布有关,单个质点对转轴的转动惯量,质点系对给定轴的转动惯量,质量连续分布时,转动惯量,质量连续分布时,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽
8、为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,例 4、 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 （）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 （）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 （）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关,（）,例 5、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， （）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 （）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小 （）它受热或遇冷时，
9、角速度均变大 （）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大,（）,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,解：1） 分析受力,例1 如图, 有一半径为 R 质量为 的匀质圆盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.,2）选取坐标,注意：转动和平动的坐标取向要一致.,3）列方程（用文字式）,牛顿第二定律（质点）,转动定律（刚体）,转动惯量,先文字计算求解，后代入数据求值.,约束条件,例2 有一半径为R质量为 m
10、 匀质圆盘, 以角速度0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?,解: 在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩大小,刹车片,面积微元所受摩擦力矩,圆环所受摩擦力矩,圆盘所受摩擦力矩,圆盘角加速度,停止转动需时,例3 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链
11、O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.,解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分 得,* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间?,解: 物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和相对质心的滚动两种运动合成.,质心运动
12、方程,转动定律,角量、线量关系,实心圆拄,空心圆筒,注意：作圆周运动的质点的角动量Lmrv,大小：Lrmvsin,方向：右手螺旋定则判定,质点的角动量,解：已知,刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：,质点对点的角动量为：,所以刚体绕此轴的角动量为：,刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J 和角速度 的乘积,刚体对固定轴的角动量,质点角动量定理,质点对某一固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受合外力对该点的力矩,角动量守恒定律,当质点所受合外力对某固定点力矩为零时，对该固定点的角动量为恒矢量,（）,（）,（）,（）,（）,例 3、 已知地球的质量为 ，太阳的质量为 ，
13、地心与日心的距离为 ，引力常数为 ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为,例 3、 一质量为 的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角座标系下的定义式为 ，其中 、 、 皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩 _；该质点对原点的角动量 _,例1：一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑
14、到,得,由题设条件积分上式,刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒,力矩与作用时间的乘积，叫做力矩对给定轴的冲量矩,作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量，这就是刚体的角动量定理,角动量守恒定律,例 6、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 （）刚体不受外力矩的作用 （）刚体所受合外力矩为零 （）刚体所受的合外力和合外力矩均为零 （）刚体的转动惯量和角速度均保持不变,（）,解: 系统角动量守恒,解: 碰撞前 M 落在 A点的速度,例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.设跷板是匀质的, 长度为 l , 质量为 , 跷板可绕中
15、部支撑点 C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为 m. 假定演员 M 落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 .问演员 N 可弹起多高 ?,碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度,M、N和跷板系统角动量守恒,演员 N 达到的高度,例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解: 碰撞前后系统角动量守恒,角动量定理,考虑到,力矩的功 转动动能定理,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。,（微分形式）,（积分形式）,力矩的功率:,刚体上所有质元的动能之和为：,刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。,刚体的转动动能,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。,上式即为：,刚体定轴转动的动能定理,刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,机械能守恒：对于含有刚体的系统,
