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1、高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：MR.XUE 第第 1 页页 共共 7 页页 1 函数函数 0f x 恒成立恒成立 min0f x 1.1 二次函数（定义域无限制）的恒成立问题二次函数（定义域无限制）的恒成立问题 对于一元二次函数), 0(0)( 2 Rxacbxaxxf有： （1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 【例【例1】 若不等式02) 1() 1( 2 xmxm的解集是R，求m的范围。 【例【例2】 若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； 【练习【练习1】 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。 2 函数函数 f
2、xa恒成立，恒成立， minf xa（分离参数法分离参数法） 2.1 二次函数（限制定义域）的恒成立问题二次函数（限制定义域）的恒成立问题 【练习【练习1】 当1,2x时，不等式 2 40xmx恒成立，则m的取值范围是 . 【练习【练习2】 【2006 江西】对于一切实数，不等式 2 10xa x 恒成立，则实数a的取值范围 是 【练习【练习3】 若不等式 2 2210xmxm 对满足01x的所有实数x都成立， 求m的取值 范围。 【练习【练习4】 已知函数 2 ( )10f xxax 对于一切 1 (0, 2 x成立，求a的取值范围。 【练习【练习5】 已知函数4 , 0(,4)( 2 xx
3、xaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范 围。 解： 将问题转化为 x xx a 2 4 对4 , 0(x恒成立。 x0 2 aaxx),(a 2 68ymxmxm 高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：MR.XUE 第第 2 页页 共共 7 页页 令 x xx xg 2 4 )( ，则 min )(xga 由1 44 )( 2 xx xx xg可知)(xg在4 , 0(上为减函数，故0)4()( min gxg 0a即a的取值范围为)0 ,(。 【练习【练习6】 已知函数 lg2 a f xx x ， 若对任意2,x恒有 0f x ， 试确定a的 取值范围。 【练习【练
4、习7】 【 20102010 天 津 理 数 】天 津 理 数 】 （ 16 ） 设 函 数， 对 任 意， 恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依 据 题 意 得在上 恒 定 成 立 ， 即 在上恒成立。 当时 函 数取 得 最 小 值， 所 以， 即 ，解得或 【练习【练习8】 已知函数 2 21g xaxaxb 0,1ab在区间2,3上最大值是 4，最小 值是 1.设函数 g x f x x 求, a b的值和 f x的解析式 若不等式 220 xx fk 在1,1x 时恒成立，求k的取值范围 2 ( )1f xx 2 ,
5、 3 x 2 4( )(1)4 ( ) x fm f xf xf m m m 2 2222 2 1 4(1)(1)1 4(1) x mxxm m 3 ,) 2 x 2 22 132 41m mxx 3 ,) 2 x 3 2 x 2 32 1y xx 5 3 2 2 15 4 3 m m 22 (31)(43)0mm 3 2 m 3 2 m 高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：MR.XUE 第第 3 页页 共共 7 页页 2.2 已知单调性， 求参数取值涉及的恒成立问题已知单调性， 求参数取值涉及的恒成立问题 （涉及放缩技巧）（涉及放缩技巧） 【练习【练习1】 已知函数 2 0
6、, a f xxxaR x 在区间2,)上是增函数， 求a的取值范围 答案：16a 【练习【练习2】 【2011 江西高考】已知函数 2 f xxxa，若 f x在2,3上单调递减，求 参数a的取值范围 【练习【练习3】 已知函数 1 2 log8 a f xx x 在1,上单调递减，求a的取值范围 答案：19a 【练习【练习4】 已知函数 2 1 2f xax x ，(0,1x 若函数 f x在(0,1x上是增函数，求a的取值范围 求 f x在(0,1x上的最大值 答案：1a 1a 时 max21f xa 1a 时， 32 max 3f xa 【练习【练习5】 【2007 上海高考】已知函数
7、 （1）判断函数的奇偶性； （2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。 解： （1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）设， ， 由得， 要使在区间是增函数只需， 即恒成立，则。 2 (0,) a f xxxaR x f x f x2, a 0a 2 f xx0a f x 21 2xx 22 1212 12 aa f xf xxx xx axxxx xx xx 2121 21 21 21 2xx 1 212 16x xxx 1212 0,0xxx x f x2, 12 0f xf x 1 212 0x xxxa16a 高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：M
8、R.XUE 第第 4 页页 共共 7 页页 【练习【练习6】 如果函数 2 ( )(31)(01) xx f xa aaaa且在区间0 ，上是增函数，那么 实数a的取值范围是（ ） A 2 0 3 ， B 3 1 3 ， C13 ， D 3 2 ， 3 分类讨论法分类讨论法 【练习【练习1】 已知函数， 【1】 在 R 上恒成立，求的取值范围。 【2】 若时，恒成立，求的取值范围。 【3】 若时，恒成立，求的取值范围。 分析： yf x的函数图像都在x轴上方，即与x轴没有交点。 【1】 略解： 【2】 ，令在上的最小值为。 当，即时， 又 不存在。 当， 即时 ， 又 当，即时， 又 总上所述
9、，。 【3】 解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则 把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于 0 的问题。 2 ( )3f xxaxa ( )0f x a 2,2x ( )0f x a 2,2x ( )2f x a 22 4 34120aaaa 62a 2 2 ( )3 24 aa f xxa ( )f x2,2( )g a 2 2 a 4a ( )( 2)730g afa 7 3 a4a a 22 2 a 44a 2 ( )( )30 24 aa g afa 62a 44a 42a 2 2 a 4a ( )(2)70g afa7a 4a 74a 72a axf)(2
10、,2a 2,2 高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：MR.XUE 第第 5 页页 共共 7 页页 略解：，即在上成立。 综上所述，。 解法二： （利用根的分布情况知识） 当，即时， 不存在。 当，即时， 当，即时， 综上所述。 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。 【练习【练习2】 已知函数xaxxf 2 )(，()0aRa且 （1） 对于任意的实数 21,x x，比较)()( 2 1 21 xfxf与) 2 ( 21 xx f 的大小； （2） 若1 , 0x时，有1| )(|xf，求实数a的取值范围。 【练习【练习3】 已知不等
11、式012 2 axx对2 , 1 x恒成立， 其中0a 求实数a的取值范围 分析：思路 1、通过化归最值，直接求函数12)( 2 axxxf的最小值解决，即0)( min xf 思路 2、通过分离变量，转化到) 1 ( 2 1 2 1 2 x x x x a 解决，即 min 2 ) 2 1 ( x x a 【练习【练习4】 设22)( 2 mxxxf，当), 1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值 2 ( )320f xxaxa 2 ( )10f xxaxa 2,2 2 4 10aa 22 222 2a 2 4(1)0 (2)0 ( 2)0 22 22 aa f f aa 或 2225a
12、2225a 2 2 a 4a ( )( 2)732g afa 5 4, 3 aa 22 2 a 44a 2 ( )( )32 24 aa g afa 222222a2224a 2 2 a 4a ( )(2)72g afa5a 54a 2225a 2 2 高一数学高一数学恒成立问题恒成立问题 编辑人：编辑人：MR.XUE 第第 6 页页 共共 7 页页 范围。 解：设mmxxxF22)( 2 ，则当), 1x时，0)(xF恒成立 当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立； 当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为： 1 2 2 0) 1( 0 m F 解得23m。综上可得实数m的取
13、值范围为) 1 , 3。 4 主参换位法主参换位法 【练习【练习1】 若不等式10ax 对1,2x恒成立，求实数a的取值范围 【练习【练习2】 若对于任意1a ，不等式 2 4420xaxa 恒成立，求实数x的取值范 围 【练习【练习3】 （1）已知 2 1f xxmx试求m的取值范围，使 3f x 对任意1,1x 恒 成立 （3） 已知 2 1f xxmx试求x的取值范围，使 3f x 对任意1,1m 恒成立 【练习【练习4】 若不等式 2 211xm x 对满足22m 的所有m都成立，求x的取值范围。 【练习【练习5】 设函数bx x a xh )(，对任意2 , 2 1 a，都有10)(xh在 1 , 4 1 x恒成立， 求实数b的取值范围 分析： 方法 1：
