《2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案：第4章 4.2.2 圆与圆的位置关系+4.2.3 直线与圆的方程的应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案：第4章 4.2.2 圆与圆的位置关系+4.2.3 直线与圆的方程的应用 （11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 1掌握圆与圆的位置关系及判定方法(重点、易错点) 2能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题(难点) 基础初探 教材整理 1 圆与圆位置关系的判定 阅读教材 P129至 P130“练习”以上部分，完成下列问题 1几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位 置关系的判断方法如下： 位置关系外离外切相交内切内含 图示 d 与 r1、r2 的关系 dr1r2dr1r2 |r1r2| dr1r2 d|r1r2| 0d |r1r2| 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解
2、的个数进行判断 Error!一元二次方程Error! 消元 两圆 x2y29 和 x2y28x6y90 的位置关系是( ) A外离B相交 C内切D外切 【解析】 两圆 x2y29 和 x2y28x6y90 的圆心分别为(0,0)和 (4，3)，半径分别为 3 和 4. 所以两圆的圆心距 d5. 4232 又 43534，故两圆相交 【答案】 B 教材整理 2 直线与圆的方程的应用 阅读教材 P130“练习”以下至 P132“练习”以上部分，完成下列问题 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 一辆卡车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道，则这辆卡车的 平顶车蓬蓬顶距地面的高
3、度不得超过( ) A1.4 米B3.5 米 C3.6 米D2 米 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系 如图，设蓬顶距地面高度为 h，则 A(0.8，h3.6)半圆所在圆的方程为： x2(y3.6)23.62，把 A(0.8，h3.6)代入得 0.82h23.62，h43.5(米) 0.77 【答案】 B 小组合作型 圆与圆位置关系的判定 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0 相交、相切、相离？ 【精彩点拨】 求圆C1的半径r1求圆C2的半径r2求|C1C2| 利用|C1C2|与|r1r2|和r1r2的关系求k 【自主解答】 将两圆的一般方程
4、化为标准方程，C1：(x2)2(y3) 21， C2：(x1)2(y7)250k. 圆 C1的圆心为 C1(2,3)，半径 r11； 圆 C2的圆心为 C2(1,7)，半径 r2(k50) 50k 从而|C1C2|5. 212372 当 15，k34 时，两圆外切 50k 当|1|5，6，k14 时，两圆内切 50k50k 当|r2r1|C1C2|r2r1， 即 14k34 时，两圆相交 当 15 或|1|5， 50k50k 即 0k14 或 34k50 时，两圆相离 1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几 个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计
5、算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合 2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系 再练一题 1已知圆 C1：x2y22ax2ya2150，圆 C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求 a 为何值时，两圆 C1，C2的位置关 系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含 【解】 圆 C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(xa)2(y1)216， C2：(x2a)2(y1)21， 圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)，半径 r14
6、，r21. |C1C2|a. a2a2112 (1)当|C1C2|r1r25，即 a5 时，两圆外切； 当|C1C2|r1r23，即 a3 时，两圆内切 (2)当 3|C1C2|5，即 3a5 时，两圆相交 (3)当|C1C2|5，即 a5 时，两圆外离 (4)当|C1C2|3，即 a3 时，两圆内含 两圆相交有关问题 求圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y22x2y10 的公共弦所在 直线被圆 C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长 25 4 【精彩点拨】 联立圆C1、C2的方程 作差 得公共弦所在的直线 圆心C3到公共弦的距离d圆的半径r弦长2 r2d2 【自主解答】 设两圆的交点坐标
7、分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A，B 的坐标是方程组 Error!的解， 两式相减得 xy10. 因为 A，B 两点的坐标满足 xy10， 所以 AB 所在直线方程为 xy10， 即 C1，C2的公共弦所在直线方程为 xy10， 圆 C3的圆心为(1,1)，其到直线 AB 的距离 d，由条件知 1 2 r2d2 ， 25 4 1 2 23 4 所以直线 AB 被圆 C3截得弦长为 2. 23 223 1圆系方程 一般地过圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆的方程可设为： x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0
8、(1)，然后再由其他条 件求出 ，即可得圆的方程 2两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相 交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. 3公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求 出弦长 (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距 构成的直角三角形，根据勾股定理求解 再练一题 2求两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y80 的公共弦所在 直线的方程及公共弦长 【解】 联立两圆的方程得方程组Error!两式
9、相减得 x2y40，此为两 圆公共弦所在直线的方程 法一：设两圆相交于点 A，B，则 A，B 两点满足方程组Error!解得Error! 或Error! 所以|AB|2，即公共弦长为 2. 4020225 5 法二：由 x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为 (1，5)，半径长 r5，圆心到直线 x2y40 的距离为 d 2 3. |12 54| 1225 设公共弦长为 2l，由勾股定理得 r2d2l2，即 50(3)2l2，解得 5 l，故公共弦长 2l2. 55 探究共研型 直线与圆的方程的应用 探究 1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24 表示
10、，村外一 小路方程可用 xy20 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？ 【提示】 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线 xy20 的距离减去圆的半径 2，即22. |232| 1212 7 2 2 探究 2 已知台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离 台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，请建立适 当的坐标系，用坐标法求 B 城市处于危险区内的时间 【提示】 如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标 系 射线 AC 为xAy 的平分线，则台风中心在射线 AC 上移动 则点 B 到 AC
11、 的距离为 20千米，则射线 AC 被以 B 为圆心，以 30 千米 2 为半径的圆截得的弦长为 220(千米) 30220 22 所以 B 城市处于危险区内的时间为 t1(小时) 20 20 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图 421)， 它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达 公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离 图 421 【精彩点拨】 建立适当坐标系，求
12、出圆 O 的方程和直线 BC 的方程，再 利用直线与圆的位置关系求解 【自主解答】 以 O 为坐标原点，过 OB，OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y21，因为点 B(8,0)，C(0,8)，所 以直线 BC 的方程为 1，即 xy8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线 x 8 y 8 (距 BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离此时 DE 长的最小值为 1(41) km. |008| 22 解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤 再练一题 3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位 于轮船正西 70 km
13、 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位 于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风 的影响？ 【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建立直角坐标系(如图)， 其中取 10 km 为单位长度， 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x2y29， 港口所对应的点的坐标为(0,4)， 轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线 l 的方程为 1， x 7 y 4 即 4x7y280. 圆心(0,0)到航线 4x7y280 的距离 d，而半径 |28| 4272 28 65 r3，dr，直线与圆外离，所以轮
14、船不会受到台风的影响 1圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y24y0 的位置关系为( ) A外离 B相交 C外切D内切 【解析】 圆 O1的圆心坐标为(1,0)，半径长 r11；圆 O2的圆心坐标为 (0,2)，半径长 r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即两圆相交 5 【答案】 B 2圆 x2y22x50 和圆 x2y22x4y40 的交点为 A、B，则线 段 AB 的垂直平分线方程为( ) Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy10 【解析】 所求直线即两圆圆心(1,0)、(1,2)连线所在直线，故由 y0 20 ，得 xy10. x1 11 【答案】 A 3圆 C1：(xm)2(y2)29 与圆 C2：(x1)2(ym)24 外切，则 m 的值为_. 【解析】 C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22， 由题意得|C1C2|5， 即(m1)2(m2)225，解得 m2 或 m5. 【答案】 2 或5 4已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)220 相交于 A、B 两点，则直线 AB 的方程是_ 【解析】 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程 为：x2y210(x1)2(y3)2200，即 x3y0. 【答案】 x3y
