《2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案：第2章 2.3.2 平面与平面垂直的判定 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案：第2章 2.3.2 平面与平面垂直的判定 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角 的大小(难点、易错点) 2了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明 垂直关系(重点) 3熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点) 基础初探 教材整理 1 二面角 阅读教材 P67“练习”以下至 P68“观察”以上的内容，完成下列问题 1定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图 2313)直线 AB 叫做二面角的棱，半平面 和 叫做二面角的面 记法：AB，在 ， 内，分别取点 P，Q 时，可记作 PABQ；当棱记 为 l 时，可记作 l 或
2、 PlQ. 图 2313 2二面角的平面角 (1)定义：在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O，如图 2314 所示，以点 O 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角 (2)直二面角：平面角是直角的二面角 图 2314 如图 2315，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 BPAC 的大小等于_ 图 2315 【解析】 PA平面 ABC， PAAB，PAAC，故BAC 为二面角 BPAC 的平面角，又 BAC90.二面角 BPAC 的大小为 90. 【答案】 90 教材整理 2 平面与
3、平面垂直的判定 阅读教材 P68“观察”以下至 P69“例 3”以上的内容，完成下列问题 1平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两 个平面互相垂直 (2)画法： 图 2316 记作：. 2判定定理 文字语言图形语言符号语言 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面垂直 Error! 对于直线 m，n 和平面 ，能得出 的一个条件是( ) Amn，m，n Bmn，m，n Cmn，n，mDmn，m，n 【解析】 因为 mn，n，则 m， 又 m，故 ，所以 C 正确 【答案】 C 小组合作型 二面角 如图 2317，在正方体 ABCDA1B1C1D
4、1中，求二面角 BA1C1B1的 正切值 图 2317 【精彩点拨】 解答本题的关键是作出二面角的平面角，利用BA1C1与 B1A1C1均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角求解 【自主解答】 取 A1C1的中点 O，连接 B1O，BO.由题意知 B1OA1C1， 又 BA1BC1，O 为 A1C1的中点， 所以 BOA1C1， 所以BOB1是二面角 BA1C1B1的平面角 因为 BB1平面 A1B1C1D1，OB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1OB1. 设正方体的棱长为 a， 则 OB1a， 2 2 在 RtBB1O 中，tan BOB1， BB1 OB1 a 2 2 a
5、2 所以二面角 BA1C1B1的正切值为. 2 1求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中， 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算 2为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否 为等腰三角形等 再练一题 1在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧 面都是侧棱长为的等腰三角形，求二面角 VABC 的大小. 5 【解】 如图，作 VO平面 ABCD，垂足为 O，则 VOAB，取 AB 中点 H，连接 VH，OH，则 VHAB. VHVOV，AB平面 VHO，ABOH， VHO 为二面角 VABC
6、的平面角 易求 VH2VA2AH2()2 24，5 ( 2 2) VH2.而 OH AB1，VHO60. 1 2 故二面角 VABC 的大小是 60. 平面与平面垂直的判定 如图 2318，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点，求证： 图 2318 (1)DEDA； (2)平面 BDM平面 ECA； (3)平面 DEA平面 ECA. 【精彩点拨】 (1)要证 DEDA，只需证明 RtEFDRtDBA；(2)注意 M 为 EA 的中点，可取 CA 的中点 N，先证明 N 点在平面 BDM 内，再证明平面 BDM 过平面 ECA 的一条垂线即可；
7、(3)仍需证平面 DEA 经过平面 ECA 的一条 垂线 【自主解答】 (1)取 EC 的中点 F，连接 DF. ECBC，易知 DFBC， DFEC. 在 RtEFD 和 RtDBA 中， EF ECBD，FDBCAB， 1 2 RtEFDRtDBA. EDDA. (2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN 綊 EC， 1 2 MNBD，N 点在平面 BDMN 内 EC平面 ABC，ECBN. 又 CABN，BN平面 ECA. BN 在平面 MNBD 内， 平面 MNBD平面 ECA. 即平面 BDM平面 ECA. (3)BD 綊 EC，MN 綊 EC. 1 2 1 2 MNBD
8、 为平行四边形DMBN. 由(2)知 BN平面 ECA，DM平面 ECA. 又 DM平面 DEA， 平面 DEA平面 ECA. 1证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角； (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直 2根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面 角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直 的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一 个平面内寻找一直线与另一平面垂直 再练一题 2如图 2319 所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面
9、 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平面 PDC平面 PAD. 图 2319 【证明】 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD. 又CDAD，PAADA， CD平面 PAD. 又CD平面 PDC. 平面 PDC平面 PAD. 探究共研型 线面、面面垂直的综合应用 探究 1 如图 2320，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形， 侧棱 PDa，PAPCa，你能证明 PD平面 ABCD 吗？ 2 图 2320 【提示】 PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC. 2 同理可证 PDAD， AD平面 ABCD，DC平面 ABCD，
10、且 ADDCD， PD平面 ABCD. 探究 2 上述问题中条件不变，请证明：平面 PAC平面 PBD. 【提示】 由探究 1 知 PD平面 ABCD， PDAC，而四边形 ABCD 是正方形， ACBD，又 BDPDD， AC平面 PBD. AC平面 PAC， 平面 PAC平面 PBD. 探究 3 通过以上探究，试总结证明线、面之间的垂直关系转化特征 【提示】 线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂 直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握 如图 2321 所示，已知三棱锥 PABC，ACB90， CB4，AB20，D 为 AB 的中点，且PDB 是正三
11、角形，PAPC. 图 2321 (1)求证：平面 PAC平面 ABC； (2)求二面角 DAPC 的正弦值； (3)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 MBCD 的体积 【精彩点拨】 (1)由ABC 是直角三角形以及PDB 为正三角形，寻找线 线垂直，得线面垂直，进而求面面垂直 (2)先找出二面角的平面角，再求其值 (3)关键是由垂直找到三棱锥的高，再求其体积 【自主解答】 (1)证明：D 是 AB 的中点，PDB 是正三角形， AB20， PD AB10，APPB. 1 2 又 APPC，PBPCP， AP平面 PBC. 又 BC平面 PBC，APBC. 又 ACBC，APACA， BC平面
12、 PAC. BC平面 ABC， 平面 PAC平面 ABC. (2)PAPC，且 PAPB， BPC 是二面角 DAPC 的平面角 由(1)知 BC平面 PAC，则 BCPC， sinBPC . BC PB 2 5 (3)D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， DM 綊 PA，且 DM5， 1 23 由(1)知 PA平面 PBC， DM平面 PBC， SBCM SPBC2， 1 221 VMBCDVDBCM 5210. 1 33217 1利用判定定理，证明两个平面垂直，实质是转化为证明线面垂直，进一 步转化为线线垂直问题求解 2求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个
13、 条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边 是否都与棱垂直在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法 技巧，如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等 再练一题 3在如图 2322 所示的四面体 ABDC 中，AB，BC，CD 两两互相垂直， 且 BCCD1. (1)求证：平面 ACD平面 ABC； (2)求二面角 CABD 的大小 图 2322 【解】 (1)证明：CDAB，CDBC，ABBCB，CD平面 ABC. 又CD平面 ACD， 平面 ACD平面 ABC. (2)ABBC，ABCD，BCCDC， AB平面 BCD. ABBD. CBD 是二面角
14、 CABD 的平面角 在 RtBCD 中，BCCD， CBD45. 二面角 CABD 的大小为 45. 1已知 l，则过 l 与 垂直的平面( ) A有 1 个 B有 2 个 C有无数个D不存在 【解析】 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面 ，这样 的平面有无数个 【答案】 C 2空间四边形 ABCD 中，若 ADBC，ADBD，那么有( ) A平面 ABC平面 ACD B平面 ABC平面 ABD C平面 ABC平面 BCD D平面 ADC平面 BCD 【解析】 ADBC，ADBD，BCBDB， AD平面 BCD. 又AD平面 ADC， 平面 ADC平面 BCD. 【答案】 D 3如图 2323，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 图 2323 (1)二面角 D1ABD 的大小是_； (2)二面角 A1ABD 的大小是_ 【解析】 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB平面 AD1，则 ABAD1. 又 ABAD， 所以D1AD 即为二面角 D1ABD 的平面角，在 RtD1AD 中， D1AD45.所以二面角 D1ABD 的平面角为 45. (2)与(1)同理，A1AD 为二面角 A1ABD 的平面角，所以二面角 A1
