《初中数学竞赛 代数 部分课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学竞赛 代数 部分课件(147页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、广东省奥数教练员培训教程,(初中竞赛,代数部分),初中竞赛代数内容主要分为四部分,代数式的求值问题 方程与方程组的求解问题及其应用 一元一次不等式(组)及二元一次不等式(组)的求解及应用 二次函数问题,关于整式的求值问题 关于分式的求值问题 二次根式的求值问题,代数式求值的相关考点:,一、代数式的求值问题,(一)知识梳理,1、整式的知识点:,(1)高次二项式的变形公式:,(2)乘法公式:,完全平方公式:,平方差公式:,立方和(差)公式:,(3)多项式平方公式:,即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。,(4)完全立方公式:,(5),(6)欧拉公式,(7),(9)多项式的带余除法:,若多
2、项式f(x)除以g(x),所得商式为q(x),余式为r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x),(10)因式分解的方法:,提公因式法,运用公式法,分组分解法,十字相乘法,双十字相乘法,待定系数法,换元法,添项、拆项、配方法,(11)幂指数运算性质:,2、分式的知识点,(1)基本公式,(2)分式化简、求值的常用方法有: 设参法:主要用于连比式或连等式 拆项法(裂项法) 因式分解法 通分法:分组通分、逐项通分、 换元法 整体代入法 取倒法 公式法 代换法,(2)二次根式具有如下性质:,3、二次根式的知识点,(3)二次根式的运算法则如下:,(6)二次根式的求值 基本思路:先将二次根式化为最简
3、根式 再作加减乘除运算 特殊的方法、技巧:换元法、拆项法、因式分解法、运用乘法公式、分母有理化。,1、公式法求值 代数式的变形化简,离不开各种公式、各种运算法则及它们的变形用法。,(二)例题分析,学法指导,1、系统掌握数学知识点 2、系统掌握数学思想、方法 3、学会思考数学问题 : 四种思路:条件、条件与条件、问题、条件与问题 三种本领:观察、对比、联想 4、不断总结、反思。,条件,1、数学问题的分析思路:,推导,分析,问题,2、如何变形:,(1)迎合公式等,对条件、问题变形,(2)迎合问题,对条件变形,(3)迎合条件,对问题变形,(4)迎合一个条件,对另一个条件变形,3、怎么做到:多观察、多
4、联想、多记忆、多总结,2、换元法求值 如果代数式较繁,且相同的地方较多,则可以考虑换元法,3、 整体法求值:将已知条件整体代入求值,例 已知 ,那么,分析: 共有1996项,将每四项分成一组,共499组,每组中都有因式 ,因此结果为0.,(第八届“祖冲之”杯竞赛试题),例 、若a、b都是正实数,且 ,求,(1992年全国联赛试题),例、 已知,分析:观察待求值的多项式,它是关于x+y、xy、a+b的多项式,如果能通过已知条件的变形,求出x+y、xy、a+b,问题就解决了。或者构造出关于x+y、 xy、 a+b的方程组,问题也解决了。,4、构造方程法求值,例、已知p、q是有理数, 满足 , 则p
5、+q的值是( )。 (A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3,5、利用数的性质:若所给条件限制于整数、有理数,或涉及到质数,奇偶数,整除性、数的非负性等,把握住这方面的性质,有利于寻到突破口。,6、参数法求值:,7、取倒法求值,注:条件取倒,问题取倒,条件问题均取倒,8、代换法:变量个数多于等式个数,9、利用多项式除法:主要用于高次一元多项式情形,10、因式分解法求值,11、运用韦达定理逆定理求值法,12、配对法求值,13、配方法求值,14、数形结合法求值,二、方程与方程组的求解问题及其应用,考点: 1.解含绝对值的方程 2.利用含字母系数的一次方程求字母的值; 3.含字母一元二次方程的整数
6、根; 4.一元二次方程的根的相关问题; 5.解高次方程; 6.含字母无理方程的根的相关问题; 7.方程(组)的实际应用;,早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想:首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题;其次,把所有的数学问题转化为代数问题;最后,把所有的代数问题转化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现,但是充分说明了方程的重要性,1、解绝对值问题的切入点是:脱去绝对值符号。,(1)脱去绝对值符号常用到: 符号法则、分类讨论、数形结合等知识方法。,(2)去绝对值的符号法则:,2、恰当地运用绝对值的几何意义,【知识梳理】,(一)绝对值以及绝对值方程,3、灵活运用绝对值的基本性质,4.
7、 解决绝对值问题的常用方法: (1)零点分段法; (2)数形结合法;,1、赛点1:绝对值的化简,【例题分析】,(1)令各绝对值为0,得若干个绝对值为零的点(零点); (2)用这些点把数轴分成几个区间; (3)再在各区间内化简代数式即可 。,5、零点分段法,2、赛点2:绝对值的非负性,3、赛点3:绝对值方程,(1)采用 “零点分段法”:分类讨论; (2)采用“数形结合法”:利用数轴上绝对值的几何意义 求解,对策:,4、赛点4:绝对值求最值,例、求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2005|的最小值,1.关于x的方程ax=b的解得情况: 时,方程有唯一解 ; 且 时,方程有无穷多个解; 且
8、 时,方程无解。 2.方程的解是方程理论中的一个重要概念,解题中要学全从两个方面去应用: (1)求解;通过解方程,求出方程的解进而解决问题; (2)代解:将方程的解代入原方程进行解题,(二)一元一次方程,【知识梳理】,例.已知关于x的方程 ,无论k 为何值,总有根 ,求m,n的值。,思路:方程总有根表示 满足方程,将-2代入方程并化简,可得有关k的一次方程,又因“无论k为何值”都成立,所以 有关k的方程为0k=0,解:将x=-2代入方程并化简为: 因为对任何k都成立 所以:,【例题分析】,注:(1)对于含字母系数的方程,我们不但可讨论方程根的个数,而且还可以探求解的性态,如整数解、正数解,负数
9、解。解这类问题,常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。,(2)解一元一次方程常用的技巧有: 有多重括号,去括号与合并同类项可交替进行; 当括号内含有分数时,常由外向内先去括号,再去分母; 用整体思想,即把含未知数的代数式看作一个整体进行变形,(三)一次方程组,【知识梳理】,1. “消元”是解一次方程组的基本思想,即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解,而代人法、加减法是消元的两种基本方法,2.解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等),需要观察方程组系数的特点,着眼于整体上解决问题,常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧,3.对于含有字母系数的二
10、元一次方程组,我们可以进一步讨论解的特性、解的个数基本思路是通过消元,将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦,【例题分析】,例、解方程组,注:加减消元法,若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0 (xyz0), 则式子 的值等于_,注:把某个未知量当作常数看待,例、,例.(周报杯)解方程组: = =,2x+3y+4z=-3,注:设参数法,例.(1997北京)解方程组 1995x+1997y=5989 1997x+1995y=5987,注:累加累减法,例(第7届华杯赛)解方程组 + = + = + = + = + =1 + + + + =1999,注:换元法,思考题:,4、解方程组:,(
11、四)一元二次方程,【知识梳理】,1、一元二次方程的一般形式:,(a,b,c为常数,a0),2、一元二次方程的解法,(1)配方法,(2)公式法,一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),(3)因式分解法,1o方程右边化为0 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。,4、判别式的应用: 利用判别式,可以判断方程实根的个数; 运用判别式,可以建立等式、不等式,从而求方程中参数或参数的取值范围; 通过判别式,可以证明与方程有关的代数问题; 借助判别式,可以解几何存在性问题、最值问题。,-韦达定理,注:(1)韦达定理应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代
12、数式的值; 利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题。 (2)设而不求、整体代入是利用韦达定理解题 的基本思路。,6、运用韦达定理时,常需要作下列变形:,【例题分析】,(一)解方程问题,利用根的概念降次,思路点拨:因不知原方程的类型,故需分,及,两种情况讨论。,零点分段,分情况讨论,根的概念,设元法,【例】已知方程 ,k为实数,证明方程有两个实数根,其中一根大于1,另一根小于1。,思路1:证方程有实根,即证: ;证两根为、, 1, 0, -10从而利用韦达定理证(-1)(-1)0。 思路2:直接将原方程转为 ,证两根之积小于0,问题的转化,
13、解1(1)因 所以方程有两个不相等的实根; (2)设方程的两根为、,则: 即 异号 故:两根中有一个大于1,另一个小于1. 解2:将原方程转化为 由韦达定理得: 新方程的两根异号,即原方程的两根一个大于 1,另一个根小于1,(二)利用判别式问题,思路点拨:去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根,则其中一个判别式大于零,另一个判别式等于零。,思路点拨:要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似,点E必须满足AED+BEC90,为此,可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC,建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。,
14、(三)利用韦达定理问题,【例】已知a,b,c为整数,满足c0,a+b=3, ,若关于x的方程 的解只有一个,求d.,思路:可以将a,b作为关于x的方程的两根,根据判别式和c的范围来求出c的值;再根据原方程的判别式为零求出d.,解:易知a,b是 的两根,又 ,则: 由c为正整数,则:c=1,2 当c=1时,a,b无整数解; 当c=2时,a=1,b=2或a=2,b=1 从而原方程可化为 当d=0时,x=-1; 当d0时,方程有等根,则: 综上所述:,(四)方程的构造问题,注:有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有: (1)利用根的定义构造; (2)
15、利用根与系数关系构造; (3)确定主元构造。,(五)一元二次方程的整数解问题,1、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略 (1)从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解; (2)从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设= ),通过穷举,逼近求解;,(3)从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解; (4)从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解,【例】.是否存在正整数m,使关于x的方程 有整数根,若存在,请求出m的值。,【例题分析】,2、一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关,1、匈牙利女数学家路莎彼得在无穷的玩艺一书中写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题”,2、转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程,通过去分母和换元;解高次方程,