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1、广东省奥数教练员培训教程,（初中竞赛，代数部分）,初中竞赛代数内容主要分为四部分,代数式的求值问题 方程与方程组的求解问题及其应用 一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用 二次函数问题,关于整式的求值问题 关于分式的求值问题 二次根式的求值问题,代数式求值的相关考点：,一、代数式的求值问题,（一）知识梳理,1、整式的知识点：,（1）高次二项式的变形公式：,（2）乘法公式：,完全平方公式：,平方差公式：,立方和（差）公式：,（3）多项式平方公式：,即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。,（4）完全立方公式：,（5）,（6）欧拉公式,（7）,（9）多项式的带余除法：,若多
2、项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x),（10）因式分解的方法：,提公因式法,运用公式法,分组分解法,十字相乘法,双十字相乘法,待定系数法,换元法,添项、拆项、配方法,（11）幂指数运算性质：,2、分式的知识点,（1）基本公式,（2）分式化简、求值的常用方法有： 设参法：主要用于连比式或连等式 拆项法（裂项法） 因式分解法 通分法：分组通分、逐项通分、 换元法 整体代入法 取倒法 公式法 代换法,（2）二次根式具有如下性质：,3、二次根式的知识点,（3）二次根式的运算法则如下：,（6）二次根式的求值 基本思路：先将二次根式化为最简
3、根式 再作加减乘除运算 特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式分解法、运用乘法公式、分母有理化。,1、公式法求值 代数式的变形化简，离不开各种公式、各种运算法则及它们的变形用法。,（二）例题分析,学法指导,1、系统掌握数学知识点 2、系统掌握数学思想、方法 3、学会思考数学问题 ： 四种思路：条件、条件与条件、问题、条件与问题 三种本领：观察、对比、联想 4、不断总结、反思。,条件,1、数学问题的分析思路：,推导,分析,问题,2、如何变形：,（1）迎合公式等，对条件、问题变形,（2）迎合问题，对条件变形,（3）迎合条件，对问题变形,（4）迎合一个条件，对另一个条件变形,3、怎么做到：多观察、多
4、联想、多记忆、多总结,2、换元法求值 如果代数式较繁，且相同的地方较多，则可以考虑换元法,3、 整体法求值：将已知条件整体代入求值,例 已知 ，那么,分析： 共有1996项，将每四项分成一组，共499组，每组中都有因式 ，因此结果为0.,（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）,例 、若a、b都是正实数，且 ，求,（1992年全国联赛试题）,例、 已知,分析：观察待求值的多项式，它是关于x+y、xy、a+b的多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、a+b，问题就解决了。或者构造出关于x+y、 xy、 a+b的方程组，问题也解决了。,4、构造方程法求值,例、已知p、q是有理数， 满足 ， 则p
5、+q的值是（ ）。 （A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3,5、利用数的性质：若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数，奇偶数，整除性、数的非负性等，把握住这方面的性质，有利于寻到突破口。,6、参数法求值：,7、取倒法求值,注：条件取倒，问题取倒，条件问题均取倒,8、代换法：变量个数多于等式个数,9、利用多项式除法：主要用于高次一元多项式情形,10、因式分解法求值,11、运用韦达定理逆定理求值法,12、配对法求值,13、配方法求值,14、数形结合法求值,二、方程与方程组的求解问题及其应用,考点： 1.解含绝对值的方程 2.利用含字母系数的一次方程求字母的值； 3.含字母一元二次方程的整数
6、根； 4.一元二次方程的根的相关问题； 5.解高次方程； 6.含字母无理方程的根的相关问题； 7.方程（组）的实际应用；,早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性,1、解绝对值问题的切入点是：脱去绝对值符号。,（1）脱去绝对值符号常用到： 符号法则、分类讨论、数形结合等知识方法。,（2）去绝对值的符号法则：,2、恰当地运用绝对值的几何意义,【知识梳理】,（一）绝对值以及绝对值方程,3、灵活运用绝对值的基本性质,4.
7、 解决绝对值问题的常用方法： （1）零点分段法； （2）数形结合法；,1、赛点1：绝对值的化简,【例题分析】,（1）令各绝对值为0，得若干个绝对值为零的点（零点）； （2）用这些点把数轴分成几个区间； （3）再在各区间内化简代数式即可 。,5、零点分段法,2、赛点2：绝对值的非负性,3、赛点3：绝对值方程,（1）采用 “零点分段法”：分类讨论； （2）采用“数形结合法”：利用数轴上绝对值的几何意义 求解,对策：,4、赛点4：绝对值求最值,例、求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2005|的最小值,1.关于x的方程ax=b的解得情况： 时，方程有唯一解 ； 且 时，方程有无穷多个解; 且
8、 时，方程无解。 2.方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用： (1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题； (2)代解：将方程的解代入原方程进行解题,（二）一元一次方程,【知识梳理】,例.已知关于x的方程 ，无论k 为何值，总有根 ，求m,n的值。,思路：方程总有根表示 满足方程，将-2代入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无论k为何值”都成立，所以 有关k的方程为0k=0,解：将x=-2代入方程并化简为： 因为对任何k都成立 所以：,【例题分析】,注：（1）对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数
9、解。解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。,（2）解一元一次方程常用的技巧有： 有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行； 当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母； 用整体思想，即把含未知数的代数式看作一个整体进行变形,（三）一次方程组,【知识梳理】,1. “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法,2.解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组系数的特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧,3.对于含有字母系数的二
10、元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦,【例题分析】,例、解方程组,注：加减消元法,若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0 （xyz0）， 则式子 的值等于_,注：把某个未知量当作常数看待,例、,例.(周报杯)解方程组: = =,2x+3y+4z=-3,注：设参数法,例.(1997北京)解方程组 1995x+1997y=5989 1997x+1995y=5987,注：累加累减法,例（第7届华杯赛）解方程组 + = + = + = + = + =1 + + + + =1999,注：换元法,思考题：,4、解方程组：,（
11、四）一元二次方程,【知识梳理】,1、一元二次方程的一般形式：,(a,b,c为常数，a0）,2、一元二次方程的解法,（1）配方法,（2）公式法,一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),（3）因式分解法,1o方程右边化为0 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。,4、判别式的应用： 利用判别式，可以判断方程实根的个数； 运用判别式，可以建立等式、不等式，从而求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，可以证明与方程有关的代数问题； 借助判别式，可以解几何存在性问题、最值问题。,-韦达定理,注：（1）韦达定理应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代
12、数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题。 （2）设而不求、整体代入是利用韦达定理解题 的基本思路。,6、运用韦达定理时，常需要作下列变形：,【例题分析】,（一）解方程问题,利用根的概念降次,思路点拨：因不知原方程的类型，故需分,及,两种情况讨论。,零点分段,分情况讨论,根的概念，设元法,【例】已知方程 ，k为实数，证明方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。,思路1：证方程有实根，即证： ；证两根为、， 1， 0， -10从而利用韦达定理证（-1）（-1）0。 思路2：直接将原方程转为 ，证两根之积小于0,问题的转化,
13、解1（1）因 所以方程有两个不相等的实根； （2）设方程的两根为、，则： 即 异号 故：两根中有一个大于1，另一个小于1. 解2:将原方程转化为 由韦达定理得： 新方程的两根异号，即原方程的两根一个大于 1，另一个根小于1,（二）利用判别式问题,思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。,思路点拨：要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似，点E必须满足AED+BEC90，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。,
14、（三）利用韦达定理问题,【例】已知a,b,c为整数，满足c0，a+b=3, ，若关于x的方程 的解只有一个，求d.,思路：可以将a,b作为关于x的方程的两根，根据判别式和c的范围来求出c的值；再根据原方程的判别式为零求出d.,解：易知a,b是 的两根，又 ，则： 由c为正整数，则：c=1,2 当c=1时，a,b无整数解； 当c=2时，a=1,b=2或a=2,b=1 从而原方程可化为 当d=0时，x=-1; 当d0时，方程有等根，则： 综上所述：,（四）方程的构造问题,注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有： (1)利用根的定义构造； (2)
15、利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造。,（五）一元二次方程的整数解问题,1、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略 （1）从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； （2）从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设= )，通过穷举，逼近求解；,（3）从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； （4）从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解,【例】.是否存在正整数m，使关于x的方程 有整数根，若存在，请求出m的值。,【例题分析】,2、一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关,1、匈牙利女数学家路莎彼得在无穷的玩艺一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题”,2、转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，
