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1、1第一章 解三角形章节总体设计（一）要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习 ，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）教学内容及课时安排建议1.1 正弦定理和余弦定理（约 课时）1.2 应用举例（约 课时）1.3 实习作业（约 课时）（三）评价建议1要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理
2、的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增
3、强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。2第 1 课时课题: 111 正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学
4、规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B.讲授新课探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系
5、。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsin1cCA则 b ciiic从而在直角三角形 ABC 中， C a BsinisinabcAB(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC3从而 A c BsiniabABsincC(图
6、11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作 ， Cj由向量的加法可得 BC则 A B()jj jAjjB j00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBibcB从而 siisiC类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsinc理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ，
7、 ， ；iaikickC（2） 等价于 ， ，sinibABsincCsiinabsiincbBsiaAincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.84；06.2根据正弦定理，；0sin4.9si81.()3aBbcmA根据正弦定理， 0si2.si6.74.()nCc评述：
8、对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边AB2a8b04A01长精确到 1cm）。解：根据正弦定理， 0sin8i4i .92ba因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(41)24A0sin2i3.aCcc评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂第 4 页第 1（1）、2（1）题。补充已知 ABC 中， ，求sin:isi1:23ABC:abc（答案：1：2：3）.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的
9、表示形式： ；siiabsic0insiinkABC或 ， ，sinakAbkBkC(0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。.课后作业第 10 页习题 1.1A 组第 1（1）、2（1）题。5第 2 课时课题: 1.1.2 余弦定理教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角
10、函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入C如图 11-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求边 c b aA c B(图 11-4).讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CababbcC B 22 c a从而 (图
11、 11-5)2coscabC同理可证 2A2B于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabAB622coscabC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 22cosbaAcB22cosbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关
12、系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例 1在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A23a62c0B解： 22osbcB= cos2(3)6)() 045=12431)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos22222()6)(31,cab 06.解法二：sin 023sinsi45,AB又 2.41.8,3.6, ，即 ac0A09, 6.A评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。7例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形
13、134.6acm87.bc16.7cm（见课本第 7 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：cos22bcA287.16.34.705,；2cos2cabB2134.6.78.1089,；25001()(5623)CAB.课堂第 8 页第 1（1）、2（1）题。补充在 ABC 中，若 ，求角 A（答案：A=120 ）22abc0.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。.课后作业课后阅读：课本第 8 页探究与发现课时作业：第 11 页习题 1.1A 组第 3（1），4（1）题。8第 3 课时课题: 113 解三角形的进一步讨论教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题
