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1、,2011年,控制工程基础 (第五章）,5 系统稳定性分析,5.1 系统稳定性的条件,5.2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据,5.3 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）,5.4 稳定性裕量,5.5 根轨迹简介,1. 单摆,2. 闭环控制系统的稳定性问题 定义,系统受扰动后能否恢复原来的状态,5.1 系统稳定性的条件,N(s)到Xo(s)的传递函数：,设n(t)为单位脉冲函数，,如果系统稳定，应有,即,为系统闭环特征方程式的根的实部,控制系统稳定的充分必要条件是： 闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点， 故也可以说充要条件为 极点全部在s平面的左半面,五次以及更高次的代数方程没
2、有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法） 阿贝耳定理,为系统的特征根,基于方程式的根与系数的关系,设系统特征方程为,5.2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据,复数根与系数的关系：,（2）特征方程的各项系数的符号都相同。,（1）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n) 。,要使全部特征根均具有负实部，必须满足：,必要条件！,充要条件： 如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。 劳斯阵列：,其中,实部为正的特征根数 劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,劳斯阵列第一列中 系数符号全为正， 所以
3、控制系统稳定。,解： 首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。,其次，排劳斯阵列,例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳斯阵列,第一列系数改变符号2次， 闭环系统的根中有2个实部为正， 控制系统不稳定。,二阶系统特征式为 ，劳斯表为,故二阶系统稳定的充要条件是,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可简化：,三阶系统特征式为 ，劳斯表:,故三阶系统稳定的充要条件是,例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。,解：系统闭环传递函数为,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件， 可知使系统稳定须满足,故
4、使系统稳定的K值范围为,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,符号改变2次， 2个正实根。,无正实根，有虚根。,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,临界稳定,nn行列式：,赫尔维茨稳定性判据,系统稳定的充要条件： 各阶主子行列式均 0 即：,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。 各系数排成行列式,由于,故该系统稳定。,代数稳定性判据使用的多项式 是系统闭环特征多项式。,劳斯判据的不足：,定性较难从量上判断系统的稳定程度,必须知道系统的闭环传递函数,N
5、yquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性,对含有延迟环节的系统无效,1.,a 为复数,C 为顺时针方向,5.3 乃奎斯特稳定性判据,如果 C 包围 a ，则 C 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。,2.,如果 C 包围 a ，则 C 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。,C包围z个零点，C绕原点,顺时针绕原点1圈，角度增量,顺时针z圈,C包围1个极点，C 逆时针绕原点1圈,C包围p个极点，C绕原点,逆时针p圈,F(s)有m个零点，n个极点， 在s平面上的C顺时针包围了其中z个零点和p个极点，,映射定理,z p圈。,则在F平面上的
6、C顺时针包围原点,反馈控制系统,开环传递函数,闭环传递函数,闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0,逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数,F(s)包围原点的圈数 = F (s)包围-1点的圈数,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线， 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围 (1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数， 则系统稳定。,充要条件,例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?,只要 K0 ，稳定,例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?,K1，稳定。,例:某反馈控制系统开环传递函数为,判断当K=10和40时的稳定性,如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，,开环
7、没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)，稳定,开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈，稳定,从原点右边绕，开环右极点个数为0； 乃氏图顺时针包围(-1,j0) 2 圈，不稳定,例：某系统开环传递函数为,从原点右边绕，,顺时针2圈，不稳定,闭环稳定性,劳斯判据,稳定程度？,奈氏判据,用开环频率特性 判闭环稳定,稳定度 动态性能,5.4 稳定裕量,概述相对稳定性和稳定裕量,特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离表征了稳定的裕度。,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。,注意：虚轴是系统的临界稳定边界,概述相对稳定性和稳
8、定裕量,稳定的裕度表现在G(j)H(j) 轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,不稳定,稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,增益交界频率 c G(j)H (j)轨迹与 单位圆交点,相位交界频率 g G(j)H(j)轨迹与负实轴交点,稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,单位园外,单位园内,增益交界频率 c G(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。,c,1,稳定系统,稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,相位交界频率 g G(j)H (j)轨迹与负实轴交点 (j)与-线的交点。,单位园外,单位园内,c,1,不稳定系统,稳定裕量,系统的稳定性裕量, :在增益交界频率c上系统
9、达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。,开环,稳定裕量,系统的稳定性裕量,Kg :在相位交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。,开环,稳定裕量,系统的稳定性裕量,系统响应速度,增益裕量 相位裕量,闭环系统稳定性,增益裕量 相位裕量 伺服机构： 10-20分贝 40度以上 过程控制： 3-10分贝 20度以上,稳定裕量,稳定裕量,系统稳定,稳定裕量,例题分析,单位反馈控制系统开环传递函数,稳定裕量,稳定裕量的讨论,稳定裕量定义只适用于最小相位系统。,稳定裕量可以作为频域性能指标用于系统分析， 也可以用于系统设计指标使用。,稳定裕量又可成为相对稳定性指标。
10、,相位裕量 计算简单方便，因此经常使用相 位裕量。,稳定裕量,例题分析,单位反馈控制系统开环传递函数,试确定相位裕量为45o时的a值,稳定裕量,例：已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图所示，（1）试求开环传递函数；（2）计算系统的相角裕量。,例题分析,稳定裕量,已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的相频特性图，计算相角裕量并判断其闭环系统是否稳定。,例题分析,稳定裕量,稳定裕量,例：已知系统的开环Bode图为,试写出其传递函数，并计算相角裕量。,解：,例题分析,稳定裕量,5.5根轨迹简介,线性定常系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方
11、程的根（闭环极点），所以，控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整一次增益求解一次特征方程。 W.R.伊文思提出了根轨迹法。它不直接求解特征方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。,根轨迹意义,概述,利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合,根轨迹定义：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。,根轨迹定义,例：如图所示二阶系统，,特征方程为：,闭环传递函数：,系统开环传递函数为：,特征根为：,根轨迹的基本概念,根轨迹定义,特征根为：,讨论： 当K=0时，s1=
12、0,s2=-2, 是开环传递函数的极点, 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6, 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1, 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j, 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j, 当K=时，s1=-1+j,s2=-1-j,根轨迹基本概念,对于一般的反馈控制系统，系统的结构图如下：,-,闭环传递函数为：,开环传递函数为：,根轨迹基本概念,的极点，闭环特征方程的根。,的点就是闭环系统,满足：,闭环特征方程：,将 写成以下标准型，得：,或,传递系数， 或称为根轨迹增益,g,k,-,.,2,1,0,),1,2,(,),(,),(,1,|,),(,|,
13、|,),(,|,1,),(,|,),(,|,),(,1,1,1,1,=,+,=,+,-,+,=,+,+,-,=,=,=,=,=,k,k,p,s,z,s,p,s,z,s,k,s,G,s,G,s,G,n,j,j,m,i,i,n,j,j,m,i,i,g,k,k,k,p,或,是复数，上式可写成：,由于,幅值条件,辐角条件,满足幅值条件和辐角条件的s 值，就是特征方程式的根。,根轨迹的幅值和辐角条件,为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记： 绘制根轨迹-依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的辐角条件，画出的是闭环极点的轨迹。,（1）求出 和 时的特征根,根轨迹的绘制法则,我们先以根轨迹增益 （当然也可以用
14、其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。,（2）根据绘制法则大致画出 时的根轨迹草图,（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制,绘制根轨迹的一般步骤：,绘制根轨迹图的方法,手工画概略图（草图）,手工图解加计算画准确图,计算机绘制精确图,绘制根轨迹的一般法则 1 起点 时，闭环系统的特征根由下式决定 上式即为开环系统的特征方程式。所以 时，闭环极点也就是开环极点。,根轨迹的绘制法则,根轨迹的绘制法则,2. 终点 时，闭环系统的特征根由下式决定 上式表明，当 时，闭环极点也就是开环有限零点。,今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着 ，它们都趋向无限远（无限零点）。,根轨迹的绘制法则,3. 根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数与开环极点数相同，也与闭环特征方程根的数目一致。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。,4 实轴上的根轨迹,j,实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，其中任一段右侧，如果开环零、极点数目的总和为奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,根轨迹的绘制法则,由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：,本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。,时的根轨迹图,
