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1、本章内容 本章研究力法基本概念和超静定次数的确定，力法典型方程；通过力法计算超静定结构示例，说明这一种方法的计算步骤，及用力法计算等截面单跨超静定梁的杆端内力。,10 力法,10.1 超静定结构与力法基本概念 10.2 结构超静定次数的确定 10.3 力法典型方程 10.4 力法计算超静定结构示例 10.5 等截面单跨超静定梁的杆端内力计算,10 力法,第一节 超静定结构与力法基本概念,一、概述,静定结构：约束力和内力均可以由静力学平衡条件唯一确定的结构。,超静定结构：约束力和内力不完全由静力学平衡条件唯一确定的结构。,例如,上述示例表明，超静定结构的几何组成特征就是具有多余约束。超静定结构在
2、去掉多余约束后，可变成静定结构。反过来，静定结构在增加多余约束后，可变成超静定结构。,第一节 超静定结构与力法基本概念,常见的超静定结构类型有超静定梁(图102)，超静定刚架(图103)，超静定桁架(图104)，超静定拱(图105)，超静定组合结构(图106)，铰接排架(图107)，等等。,超静定梁(图102),超静定刚架(图103),第一节 超静定结构与力法基本概念,超静定拱图105,超静定桁架图104,第一节 超静定结构与力法基本概念,超静定组合结构(图106),铰接排架(图107),第一节 超静定结构与力法基本概念,二、力法基本概念,超静定结构具有多余约束，若去掉多余约束而代之以相应的多
3、余未知力，则原来的超静定结构（简称原结构）就转化为一个受荷载约束力和多余未知力共同作用的静定结构。如果能设法求出这些多余未知力，那末原结构的未知力计算就可利用求解静定问题的计算方法来解决。这种把多余未知力作为基本未知量的计算方法称为力法 。,第一节 超静定结构与力法基本概念,如图108a所示的一端固定而另一端为活动铰链支座的梁，是一具有一个多余未知力的超静定结构，其刚度EI为常数。在用力法计算时，可先将多余约束如右支座链杆去掉，然后代之以相应的多未知余力Xl。,第一节 超静定结构与力法基本概念,原超静定梁就转化为图108b所示的静定梁。显然，只要能设法求出这一个多余未知力Xl ，那么原结构的计
4、算，即可在此静定结构上进行。这种去掉多余约束后所得到的静定结构称为按力法计算的基本结构。,第一节 超静定结构与力法基本概念,原超静定梁与去掉右支座链杆得到的静定梁的变形相容条件：就是梁右端B的挠度即 竖向位移等于零。换一种方法，也就是在多余未知力Xl和均布荷载q的共同作用下，在基本结构上去掉多余的约束处的竖向位移与原结构中相应的竖向位移相等。,第一节 超静定结构与力法基本概念,在此设11和1P分别表示基本结构在多余力未知Xl和均布荷载q单独作用时右端B点沿Xl方向的位移(图108c、d)，并规定与所设1 方向相同者为正。于是根据叠加原理，即有,1 111P0,第一节 超静定结构与力法基本概念,
5、须明确，在符号11和1P采用的两个下标中，第一个下标表示了位移的地点，第二个下标表示了引起位移的原因，即引起位移的多余未知力与荷载。,再设11是多余未知力Xl为单位力，即 11时梁右端B点所产生的沿Xl方向的位移。于是，多余未知力Xl单独作用于梁右端B沿Xl方向的位移为1111 Xl，这样上式即写成,1 11 Xl1P0,第一节 超静定结构与力法基本概念,11和1P都是静定结构在已知外力作用下的位移，可用位移计算方法求得。这也就借助原超静定梁与基本静定梁的变形相容条件而建立的一个独立的补充方程，又称变形谐调方程。于是，多余未知力Xl的大小即可由上式确定。由此可见，超静定结构只有唯一的一组解答，
6、能同时满足变形谐调方程和静力平衡方程，这也就是超静定结构解答的唯一性定理。,第一节 超静定结构与力法基本概念,为了计算11和1P，应用图乘法，分别画出 11和均布荷载q 单独作用于基本结构即静定梁时的弯矩图 、M p(图108e、f)，将图e自乘，图e和图f互乘后分别得到,将11和1P代入以上变形谐调方程求解，即得,第一节 超静定结构与力法基本概念,所得的Xl为正，表示多于未知力即支座约束力Xl的方向与原假设的方向相同。,多余未知力Xl求得后，即可按静力平衡条件列方程求出其余的支座约束力和内力。最后的弯矩图，也可以利用已画出的弯矩图 、M p通过叠加原理而得到其竖标值，即,第一节 超静定结构与
7、力法基本概念,例如，A端的弯矩值,M ABXl lql(1/2)(3/8)ql2(1/2)ql2 (1/8) ql2(上侧受拉)，,画出原超静定梁的弯矩图和剪力图，即如图108g、h所示。,第一节 超静定结构与力法基本概念,综上所述可知，力法的基本特点是：以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余约束后的静定结构为基本结构，并由去掉多余未知约束处的已知位移条件将多余力首先求出，而以后的计算与静定结构的计算的方法一样。力法是计算超静定结构的约束力和内力的最基本方法，它可用来分析任何类型的超静定结构。,第一节 超静定结构与力法基本概念,第二节 结构超静定次数的确定,用力法计算超静定结构时，首先应确定多
8、余约束的数目，亦即多余未知力的数目。这个数目表明，除静力平衡方程以外，还需要补充多少个反映位移相容条件的方程去求解多余未知力，从而使结构的全部反力和内力得以确定。通常将多余约束或多余未知力的数目，称为结构的超静定次数。,确定超静定结构的超静定次数的方法是，去掉多余约束，使原结构变成一个静定的结构，这一去掉的多余约束的数目就是结构的超静定次数。在超静定结构上去掉多余约束的方式，通常有以下几种：,(1)切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当于去掉一个约束。如图109a所示的超静定结构在切断一根链杆后，得到如图109b所示的静定结构，此超静定结构为一次超静定。,第二节 结构超静定次数的确定,图1010
9、a所示的超静定梁，在去掉一个支座链杆后，得到如图1010b所示的静定梁，结构为一次超静定；也可在原结构的固定端A处去掉一个阻止转动的约束，而得到如图1010c所示的静定梁。,第二节 结构超静定次数的确定,(2)去掉一个联结两刚片的单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。如图1011a所示的超静定刚架在去掉一个单铰后，得到如图1011b所示的静定结构，结构为两次超静定。,第二节 结构超静定次数的确定,(3)将一个固定端支座改成固定铰支座或将受弯杆件的刚结点处改为单铰联结，相当于去掉一个约束。如图1012a所示的超静定刚架，将下端固定端支座改成固定铰支座，并将刚结处C改为单铰联结，即得到如图
10、1012b所示的静定结构，总共去掉了三个约束，结构为三次超静定。,第二节 结构超静定次数的确定,(4)切开一根梁式杆或去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。仍以如图1012a所示的超静定刚架为例，将固定支座B端撤去，得到如图1012c所示的悬臂刚架，结构为三次超静定；若将此超静定刚架从横梁中间切断，则得到如图1012d所示的两个悬臂刚架，结构为三次超静定。,第二节 结构超静定次数的确定,应用上述去掉约束的基本方式，可以确定任何结构的超静定次数。应该注意，对于同一结构，可用各种不同的方式去掉多余约束而得到不同的静定结构。但是，不论采用哪种方式，最后所去掉多余约束的数目必然是相同的。,第二节 结
11、构超静定次数的确定,在得到基本结构时应特别注意：（1）基本结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，有时某些约束是绝对不能去掉的；（2）去掉多余约束后的结构，必须是静定结构。否则，还应把多余的约束去掉，即应去掉全部多余约束。,第二节 结构超静定次数的确定,如图1014a所示的超静定结构，去掉两个多余约束后，即视结构为两次超静定（图1014b）。但这是无法用力法求解计算的。因为所得结构作为一次超静定，并不能算作原结构的基本结构。,第二节 结构超静定次数的确定,第三节 力法典型方程,由前一节所述可知，用力法计算超静定结构，是以多余未知力作为基本未知量，然后再以相应的位移条件建立方程来求解
12、多余未知力；待多余力求出后，即可按静力平衡条件计算结构的约束力和内力。因此，用力法计算超静定结构的关键，即在于以相应的位移条件建立力法方程来求解多余未知力。下面即通过一个三次超静定的刚架，来说明如何以相应的位移条件建立力法计算方程的。,图 1015a所示为一个作用荷载FP1 、FP2的三次超静定刚架 ，其基本结构1015b。,第三节 力法典型方程,1 0，20，30,由于原结构在固定端支座B处不可能有任何水平、竖向及角位移，因此在承受荷载和全部多余未知力作用的基本结构上，B点处的沿多余未知力X1、X2和X3方向的相应水平、竖向及特角位移1 、2和 3应都等于零亦即,这就是说，对于荷载和每一个多
13、余未知力在基本结构上一点引起的三种位移，应与原结构在同一点的三种位移相一致，这一个变形谐调条件就应对应一个变形谐调方程。为此先写出基本结构在每一种力单独作用下的位移：,第三节 力法典型方程,(1)设 1单独作用时，在基本结构上B处沿X1、X2和X3方向的位移为11、21、31（ 图 1015c），于是多余未知力X1单独作用时，相应的沿X1、X2和X3方向的位移为11 X1、21 X1、31 X1。,第三节 力法典型方程,(2)设 2单独作用时，在基本结构上B处沿X1、X2和X3方向的位移为12、22、32 （图 1015d），于是多余未知力X2单独作用时，相应的沿X1、X2和X3相应的位移为1
14、2 X2、22 X2、32 X2。,第三节 力法典型方程,(3)设 3单独作用时，在基本结构上B处沿X1、X2和X3方向的位移为13、23、33 （图 1015e），于是多余未知力X3单独作用时，相应的沿X1、X2和X3相应的位移为13 X3、23 X3、33 X3。,第三节 力法典型方程,(4)当荷载FP1 、FP2单独作用时，在基本结构上B处沿X1、X2和X3方向的位移为1P、2P和P（图 1015f）。,第三节 力法典型方程,将以上全部荷载和多余未知力，在基本结构上于去掉多余的约束处B处的位移叠加，从而得到相应的变形谐调方程为,1 11 X112 X213 X31P0,221 X122
15、X223 X32P0,331 X132 X233 X33P0,第三节 力法典型方程,这就是根据超静定结构在多余约束处的变形谐调条件，建立的用来计算多余未知力X1、X2和X3的方程组。这组方程表达的物理意义是：在基本结构中，由于全部多余未知力和已知荷载的作用，在去掉多余约束 处的位移与原结构中相应的位移相等。,第三节 力法典型方程,对于n次超静定结构，在去掉n个多余约束后，则得到n个多余未知力，而对应的n个变形谐调条件，就有n个变形谐调方程，从而可求出n个多余未知力，也就是,1 1 X11 2 X21 i X i1 n Xn1P0 2 1 X12 2 X22 i X i2 n Xn2P0 i 1 X1i 2 X2i i X ii n Xni P0 n 1 X1n 2 X2n i X in n Xnn P 0,第三节 力法典型方程,以上方程组中，在其主斜线(从左上方的1 1至右下方的n n)上的系数i i称为主系数，其余的系数i k称为副系数，最后的一项i p称为自由项。所有的系数和自由项都是基本结构中在去掉多余约束处沿某一多余未知力方向的位移，这里规定以与所设多余未知力方向一致的为正。显然，主系数总是正的，且不会等于零，因为它们都代表由于
