《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文3-1 不定积分的概念与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文3-1 不定积分的概念与性质（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 不定积分与定积分,一元函数积分学主要包括不定积分和定积分一元函数微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数本章研究与之相反的一个问题：已知一个函数的导数，求原函数定积分的本质是表示某种和式的极限。微积分基本公式把微分与积分联系在一起，奠定了一元函数微积分,下一页,上一页,返回,一、原函数与不定积分,二、不定积分的性质,第1节 不定积分的概念与性质,下一页,上一页,返回,一、原函数与不定积分,例如，因为在区间 ( , ) 内有(x2) = 2x， (sin x) = cos x,所以 x2, sinx分别是 2x, cosx在 区间 ( , ) 内一个原函数.,下一页,上一页,返回,提
2、问： (1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一，它们之间有什么联系？,例如，( x2 ) = 2x，( x2 1 ) = 2x， ( x2 +2 ) = 2x，( x2+C ) = 2x.,一般地，若F (x)= f (x)，则(F (x)+C ) = f (x).,即：(1) 若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则F (x)+C表示 f (x)的全体原函数.,(2) 若 F (x) 、 G(x)是 f (x) 的任意两个原函数，则F (x) G(x) =C（C为任意常数）.,下一页,上一页,返回,定义 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C
3、 ( C为任意常数) 称为 f (x) 在该区间上的不定积分，记为,，即,下一页,上一页,返回,定义 通常把f (x)的一个原函数F (x)的图形y = F (x)叫做函数f (x)的一条积分曲线，而不定积分,表示积分曲线族 y =F (x)+C .,x,y,O,y = F (x),y = F (x)+C,下一页,上一页,返回,积分曲线族 y = F (x) + C 的特点：,(1) 积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条沿 y 轴平移若干个单位而得到.,(2) 由于 F (x) + C= F (x) = f (x)，,即横坐标相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 f
4、(x) ，从而使相应点的切线相互平行,这就是不定积分的几何意义.,下一页,上一页,返回,例1 求下列不定积分:,求不定积分的关键：,寻求被积函数的一个原函数.,下一页,上一页,返回,当 x 0 时，,所以,当 x 0 时，,所以,故当 x 0 时，得,例2 求不定积分,解,下一页,上一页,返回,基本积分公式,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,性质3,二、不定积分的性质,可推广到有限项的情形，称为分项积分.,性质4,(k 0为常数).,性质2,性质1,下一页,上一页,返回,直接积分法 利用基本积分公式和性 质求不定积分的方法.,例3 求下列不定积分:,下一页,上一
5、页,返回,例4 求,解,积分常数可以合并.,其中 C = C1- 2C2 + 5C3，,下一页,上一页,返回,例5 求下列不定积分:,下一页,上一页,返回,例6 求下列不定积分:,下一页,上一页,返回,例7 已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标的倒数，且过点 ( e 3 , 2 )，求此曲 线方程.,于是有,由条件 y|x = e3 = 2， 得 C = -1，,y = ln | x | - 1.,解 设所求曲线为 y = f (x). 按题意，得,于是所求曲线为,下一页,上一页,返回,例8 设一质点以速度 v = 2cos t -1 作直线运动，开始时，质点的位移为 s0，求质点的运动规律.,解 设位移 s 关于时间 t 的函数 s = s(t)，,按题意有,所以,由条件 s|t=0 = s0，,代入上式中，得 C = s0，,s = 2sin t + s0 .,于是质点运动规律为,下一页,上一页,返回,
