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1、控制工程基础 主讲 曾 励,4控制系统的频域分析,2,4.1频率特性的基本概念 4.2典型环节的频率特性 4.3控制系统的开环频率特性 4.4控制系统的闭环频率特性,4 控制系统的频域分析,应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。,4控制系统的频域分析,3,4.1频率特性的基本概念 4.1.1 频率响应,频率响应是线性定常系统对正弦信号（或谐波信号）的稳态响应。,输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化 。,4控制系统的频域分析,4,注意各信号的振幅和相位变化情况,4控制系统的频域分析,5,注意各信号的振幅和相位变化情况,4控制系统的频域分析,6,例：为了说
2、明频率特性的基本概念，考虑图所示RC电路。其传递函数为,输入电压为正弦信号,其拉氏变换为,4控制系统的频域分析,7,通过拉氏反变换，得电路的输出为,取稳态响应得,即：频率响应为正弦输入下的稳态响应。,其输出与输入的幅值比为,输出与输入的相位差为,4控制系统的频域分析,8,1）线性系统的稳态响应是和输入具有相同频率的正弦信号； 2）其输出与输入的幅值比为,3）输出与输入的相位差为,结论,4控制系统的频域分析,9,4.1.2 频率特性及其求取方法,1.定义 系统的频率特性为系统输出量的傅里叶变换与输入量的傅里叶变换之比，一般记为：,实频特性,虚频特性,相频特性,幅频特性,4控制系统的频域分析,10
3、,4控制系统的频域分析,11,频率特性的物理意义： 频率特性G(j)的幅值A()是输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，其相位()是输出信号的相位与输入信号的相位之差。,线性系统在稳态情况下，输入为不同频率的正弦信号时，其幅频特性A()是表示系统输出信号幅值的衰减或放大特性；而相频特性()是表示其输出信号相位产生超前()0或滞后()0的特性。,2.频率特性的物理意义,由系统的频率特性式可 得,都是输入信号频率 的函数,可见，,系统的频率特性由其结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。,4控制系统的频域分析,12,（1）依据频率特性的定义求取,3.频率特性的求取方法,取稳态响应得,由定义得系统
4、的频率特性为,幅频特性为输出与输入的幅值比，即,相频特性为输出与输入的相位差，即,4控制系统的频域分析,13,（2）由传递函数求取,电路的传递函数为,频率特性为,幅频特性为,相频特性为,4控制系统的频域分析,14,已知系统的传递函数为,试求取其幅频特性和相频特性。,解：依据传递函数零点、极点的概念，可解得该系统传递函数化为,取sj，得系统的频率特性为,所以，系统的幅频特性和相频特性分别为,4控制系统的频域分析,15,（3）用试验的方法求得频率特性,当系统的微分方程或传递函数等数学模型未知时就无法用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过试验求取频率特性，然后也能求出传递函数，这是频率
5、特性的一个极为重要的作用。 根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号的频率 ，并测出与此相应的稳态响应的幅值和相位。然后，作出输出与输入幅值比对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位对频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。 频率特性、传递函数和微分方程一样，表征了系统的运动规律，因此频率特性也是数学模型的一种。它是频域的数学模型，传递函数是复频域的数学模型，微分方程是时域的数学模型。,4控制系统的频域分析,16,4.1.3 频率特性的图形表示方法,1.极坐标图(Nyquist图),极坐标图,幅相频率特性曲线图,由幅、相频特性关系,4控制系统的频域分析,17,极坐标图,4控制系统的频域分析
6、,18,频特性计算 表,4控制系统的频域分析,19,4控制系统的频域分析,20,4控制系统的频域分析,21,2.对数坐标图（博德图）,对数频率特性曲线,对数幅频特性,相频特性,纵坐标均按线性分度,(),坐标分度,只要角频率变化10倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个10倍频程，以“dec”（decade）表示。当频率变化10倍时，即频率变化了一个10倍频程。,4控制系统的频域分析,22,解：令sj，得系统的幅频特性和相频特性为,1.画对数幅频特性图 (1)当Tl时，有A()1/(T)，L()=20lg(1/T)201g。则对于按lg分度的横坐标，对数幅频特性曲线L()是一条斜率为20(d
7、Bdec)的直线，与横轴交点是=1/T； (3)当T1时，有A()0.707，L()201gA()3dB。,4控制系统的频域分析,23,在低频段,在高频段,惯性环节的分段函数,4控制系统的频域分析,24,(2)当T1时，有()90o，如T=10时，()84o； (3)当T=1时，()45o。,2.相频特性图的绘制： (1)当T1时，有()0，如T=0.1时，() 6o；,4控制系统的频域分析,25,3.极坐标图与对数坐标图的对应关系,4控制系统的频域分析,26,对数幅频特性曲线与零分贝线（横坐标）相交处的频率,幅值,4控制系统的频域分析,27,对数,4控制系统的频域分析,28,4控制系统的频域
8、分析,29,4.2典型环节的频率特性,4.2.1比例环节,传递函数,频率特性,幅频特性,相频特性,比例环节的幅相频率特性是复平面实轴上一个点。 幅频特性是K，相频特性是0。,4控制系统的频域分析,30,当系统增设比例环节后，将使系统的L（）向上或（向下）平移，而不会改变L()的形状。对系统的()将不产生任何影响。,对数相频特性,对数幅频特性,4控制系统的频域分析,31,4.2.2 积分与微分环节,1.积分环节,积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直线 ；,其对数幅频特性是斜率为20dB/dec的直线，与零分贝线相交于 。,4控制系统的频域分析,32,积分环节的对数频率特性曲线,4控制
9、系统的频域分析,33,类推,例：分析K/s 、K/s2,4控制系统的频域分析,34,-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,的对数频率特性曲线,4控制系统的频域分析,35,2.微分环节,微分环节的幅相频率特性是一根与虚轴正段相重合的直线 ；,其对数幅频特性是斜率为20dB/dec的直线，与零分贝线相交于 。,4控制系统的频域分析,36,微分环节的对数频率特性曲线,4控制系统的频域分析,37,这些幅频特性曲线将通过点,类推,4控制系统的频域分析,38,4.2.3 一阶环节,1.惯性环节,4控制系统的频域分析,39,低频时的对数幅频特性是一条0分贝的直线，即频率特性低频渐近线；
10、,在高频时，即,高频时的对数幅频特性是一条斜率为 -20dB/dec的直线，即高频渐近线。 低、高频渐近线交接处的频率1/T为交接频率（转折频率、转角频率）。,在低频时， 即,惯性环节使系统相位滞后角,4控制系统的频域分析,40,在低频段特性,在高频段特性,惯性环节的分段函数,例：,转折频率特性,4控制系统的频域分析,41,2.一阶微分环节,4控制系统的频域分析,42,在高频时 ，即,在低频时， 即,一阶微分环节使系统相位超前角,低、高频渐近线交接处的频率1/T为交接频率（转折频率、转角频率）,4控制系统的频域分析,43,在低频段,在高频段,一阶微分环节的分段函数,作业：,4控制系统的频域分析
11、,44,4控制系统的频域分析,45,4.2.4 二阶环节,1.二阶振荡环节,传递函数,频率特性,幅频特性,对数幅频特性,(对数)相频特性,4控制系统的频域分析,46,低频 高频,振荡环节幅相频率特性从,高频部分与负实轴相切。,4控制系统的频域分析,47,4控制系统的频域分析,48,高频渐近线是一条斜率为40dB/dec的直线,低频渐近线是一条0dB的水平线 转折频率特性,(对数)相频特性,对数幅频特性,高频渐近线,低频渐近线,转折频率特性,(无阻尼固有频率 ),振荡环节的转折频率,4控制系统的频域分析,49,4控制系统的频域分析,50,二阶因子的对数相频特性曲线,4控制系统的频域分析,51,2
12、. 二阶微分环节,传递函数,频率特性,起点,幅频特性,对数幅频特性,(对数)相频特性,实频特性,虚频特性,终点,4控制系统的频域分析,52,高频渐近线是一条斜率为+40dB/dec的直线,低频渐近线是一条0dB的水平线,(对数)相频特性,对数幅频特性,高频渐近线,低频渐近线,转折频率特性,4控制系统的频域分析,53,4.2.5延迟环节,幅频特性,对数幅频特性,其幅值总是等于1,延迟环节的对数幅频特性等于0dB,(对数)相频特性,4控制系统的频域分析,54,传递延时是非最小相位系统。在高频时将造成严重的相位滞后,4控制系统的频域分析,55,4.3 控制系统的开环频率特性,对于复杂的控制系统，原则
13、上无论是开环传递函数还是闭环传递函数，其传递函数的分子和分母总可分解为一阶和二阶因式的乘积关系，如下式所示：,由此可见，任何复杂的系统总可以归结为由积分环节、微分环节、一阶环节、二阶环节、延迟环节等一些典型环节组成的最小相位系统或非最小相位系统。,4.3.1 系统的开环极坐标图,1.系统的开环频率特性,4控制系统的频域分析,56,系统的开环频率特性为,4控制系统的频域分析,57,定义：若开环传递函数含有积分环节的个数为v 则 v 0 为 0型系统； v 1 为型系统； v 2 为型系统； ,2.不同型次系统的频率特性分析,（1）系统的型次,4控制系统的频域分析,58,对于最小相位系统的频率特性
14、,4控制系统的频域分析,59,1) v = 0 (0型系统）,(2)不同型次系统起点和终点的频率特性,终点,始于实轴上某（K）点,起点,终于实轴上某点,4控制系统的频域分析,60,终点,始于某坐标轴的某方向上的无穷远处,起点,2) v 0 (、型或以上的系统）,终于实轴上某点,5 控制系统的性能分析,61,3）v 0， 0时的开环极坐标曲线,判断系统稳定性时，对应于,开环极坐标曲线,必须为全封闭曲线。,（零极点）时，在,0处，其幅频特性,极坐标曲线,轨迹将不连续。,的,但当系统的型次,，即开环传递函数中存在积分环节,，于是,对于v型系统,5 控制系统的性能分析,62,频率特性为,0）时，开环幅
15、频特性,0 0（,在,的幅值为, 0,当,时,5 控制系统的性能分析,63,其相角变化量为,5 控制系统的性能分析,64,5 控制系统的性能分析,65,结论：当系统的型次,时，系统在,0（即 0 0）的开环极坐标曲线,为无穷大，相角变化为,的圆弧轨迹线，即,是以无穷大为半径随, 0 0从,顺时针变化到,的,相角值对应的圆弧线。,是以半径（幅值）,对于系统和系统如图所示。,4控制系统的频域分析,66,3.绘制系统极坐标图的基本步骤,绘制系统极坐标图的基本步骤为： （1）根据系统的传递函数写出系统的频率特性； （2）由系统的频率特性求出其实频特性、虚频特性、幅频特性、相频特性的表达式； （3）分别求出若干个特征点，如起点（0）、终点（）、与实轴的交点、与虚轴的交点等，并标注在极坐标图上； （4）补充必要的特征点，根据已知点和实频特性、虚频特性、幅频特性、相频特性的变化规律，绘制极坐标图的大致形状。 (5)绘制-+的极坐标曲线。,4控制系统的频域分析,67,已知系统的传递函数为,绘制系统的极坐标图。,解：系统的频率特性为,4控制系统的频域分析,68,5 控制系统的性能分析,69,绘制系统的极坐标图。 解： 1）首先绘制0+时的开环频率特性的极坐标曲线； 由传递函数得系统的频
