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1、,机械工业出版社,工程力学,佘斌 主编 胡红玉 郭磊 副主编 王路珍 蔡中兵 参编,7.4 截面的几何性质,7.3 梁的内力图-剪力图和弯矩图,7.2 梁的内力与内力方程,7.1 梁弯曲的概念与计算简图,第7章 梁弯曲时的 强度计算,工程力学,7.5 梁平面弯曲时横截面上的 正应力及强度计算,7.6 梁平面弯曲时横截面上的 切应力及强度计算,7.7 提高梁强度的措施,7.1 梁弯曲的概念与计算简图,7.1.1 弯曲的概念,7.1 梁弯曲的概念与计算简图,7.1.1 弯曲的概念,7.1 梁弯曲的概念与计算简图,7.1.1 弯曲的概念,受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶作用。
2、,变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。,以弯曲为主要变形的杆件。,梁,平面弯曲的概念,梁轴线,纵向对称面,外力特点：,外力作用在过杆轴线的对称平面内，并垂直于轴线。,变形特点：,轴线由直线变成了在过杆轴线对称平面内的平面曲线。,7.1 梁弯曲的概念与计算简图,7.1.2 梁的计算简图,简支梁,悬臂梁,外伸梁,7.2 梁的内力与内力方程,7.2.1 梁横截面上的内力剪力和弯矩,取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力,7.2 梁的内力与内力方程,7.2.1 梁横截面上的内力剪力和弯矩,若取右边为分离体,切向应力的合力，称为剪力。,法向应力的合
3、力矩，称为弯矩。,例7-1 确定悬臂梁m-m处的内力。,求出A处的支座反力,取m-m截面右侧分析,剪力,弯矩,例7-1,解,若取截面m-m的左侧分析,解,取截面m-m的右侧分析,例7-1,剪力和弯矩的符号规则：,凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负。,凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。,7.2 梁的内力与内力方程,例补7-2 求图示外伸梁在截面11、22、33和44横截面上的剪力和弯矩。,解：支反力为,截面11,截面22,例补7-2,截面33,截面44,例补7-2,1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。,剪力值=,截面
4、左侧（或右侧）所有外力的代数和,弯矩值=,截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和,简易法求内力,2、截面左侧梁段 向上的外力正剪力正弯矩 顺时针外力偶正弯矩 截面右侧梁段 向上的外力负剪力正弯矩 顺时针外力偶负弯矩,简易法求内力,3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小； 在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。,简易法求内力,作业,7-1 b d,内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。,7.2.2 剪力方程和弯矩方程,7.2 梁的内力与内力方程,例7-2 图示简支梁受集度为q的满布载荷作用。试求梁的剪力方程和弯矩方程。,解：,(1)确定
5、约束反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,略去,7.2.3 载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系,q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系：,其中分布载荷集度 q(x) 以向上为正，向下为负。,7.2.3 载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系,7.3 梁的内力图-剪力图和弯矩图,显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。,剪力方程,弯矩方程,反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式。,例7-3 图示简支梁受集中载荷F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解：,1、求支反力,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,例7-3 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解
6、：,1、求支反力,2、列剪力方程和弯矩方程,CB段,3、作剪力图和弯矩图,F,发生在集中载荷作用处,发生在AC段,ba时,F,例7-3,快速绘出图示梁的剪力图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm） 。,去除约束代之以反力 （集中力）,剪力图的快速画法,FS (kN),请快速画出以下外伸梁的剪力图。,课堂练习1,你画对了吗？,课堂练习1,例7-4 图示简支梁受集度为q的满布载荷作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解：,(1)求支座反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,3、作剪力图和弯矩图,图示悬臂梁AB，自由端受力F的作用，试作剪力图和弯矩图。,课堂练习2,作业,7-2 a d,q(x)
7、、FS(x)、M(x)间的微分关系：,其中分布载荷集度 q(x) 以向上为正，向下为负。,载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系,剪力图、弯矩图与外力图之间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,例7-5 图示外伸梁，试利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图。,解：,（1）支座反力,（2）分段确定曲线形状,水平线,水平线,斜向下直线,斜直线,斜直线,二次曲线,例7-5 图示外伸梁，试利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图。,(3) 作剪力图和弯矩图,课堂练习3,试作图示梁的剪力图和弯矩图。,作业,
8、7-3 a) c) d),7.4.1 静矩,遍及整个图形面积A的积分:,图形对z轴的静矩,图形对y轴的静矩,平面图形的静矩（面积矩、一次矩）不仅与图形的大小、形状有关，还与坐标轴的位置有关。,静矩的数值可以 0 0 =0,静矩的量纲 L3,静矩的单位 m3 mm3,7.4 截面的几何性质,1、定义,2、形心,设该图形形心 C( yc , zc ),与均质等厚薄板重心坐标相同,由以上可知，若Sz= 0和Sy=0，则yc= 0和 zc =0。 图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。,反之，图形对形心轴的静矩等于零。,7.4 截面的几何性质,3、组合图形的静矩和形心,当一个平面图形是由若干
9、个简单图形（矩形、三角形、圆形）组成时，根据静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于其各个组成部分对该轴静矩之和。,组合图形的形心坐标公式:,7.4 截面的几何性质,例7-6,确定图形形心 C 的坐标位置。,如图建立坐标系：,把图形看成I 、II两个矩形组成,矩形I :,矩形I 形心CI坐标:,矩形II :,矩形II 形心CII坐标:,例7-6,解,计算形心的位置:,思考:如何用负面积法求形心的位置？,例7-6,解,7.4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径,平面图形对 z 轴的惯性矩（二次矩）,平面图形对 y 轴的惯性矩（二次矩）,若以 r 表示微面积dA至原点O的距离,图形对坐标原点O 的极惯性矩,
10、平面图形对 y 、z轴的惯性积,7.4 截面的几何性质,惯性矩 Iz、Iy 和极惯性矩 Ip 恒为正值；,惯性积 Iyz可能为正或负也可能为0；,如果图形有一个（或一个以上）的对称轴，则图形对包含此对称轴的任一对正交轴的惯性积必为0。,7.4 截面的几何性质,平面图形对其所在平面内任一点的任一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常量，其值等于图形对该点的极惯性矩。,平面图形由若干个简单图形组成:,惯性矩、惯性积、极惯性矩量纲:,L4,m4 mm4,惯性矩、惯性积、极惯性矩单位:,7.4 截面的几何性质,例补7-2,求矩形截面图形对其形心轴 z、y 的惯性矩 Iz 、 Iy。,取与 z 轴平行的狭长条为
11、微面积,同理取与 y 轴平行的狭长条为微面积，可计算得:,解,例7-7：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。,解：,由于圆截面有极对称性，,所以,所以,又因为:,在工程中，为方便起见，引入惯性半径的概念。,图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根，称为图形对该轴的惯性半径，用 i 表示。,矩形的惯性半径,直径为D的圆形的惯性半径：,7.4 截面的几何性质,7.4 截面的几何性质,7.4.3 平行移轴公式,设有面积为A的任意形状的截面。,任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：,7.4 截面的几何性质,同理，有：,7.4 截面的几何性质,思考：,如图所示，已知平面图形面积为A ,
12、平面图形对z1 轴的惯性矩为I , 则其对 z2 轴的惯性矩为多少？,？,7.4 截面的几何性质,组合截面的惯性矩和惯性积,根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：,7.4 截面的几何性质,例补7-3,试计算所示图形对其形心轴 zC 的惯性矩Izc。,确定形心轴的位置，按图示建立坐标系 坐标轴通过底边矩形的形心。,将图形分解为以下两个图形处理,解,例补7-3,同法可求,解,例补7-3,思考：,是否可以使用负面积法求？,本图形可以看成是一个大矩形减去两个小矩形。,例补7-3,例7-8 由两个No.8槽钢和两块横截面为10
13、cm1cm钢板组成的截面，如图所示，试求截面对于两个坐标轴的惯性矩。,解：,根据平行移轴公式，求得每一钢板对y轴的惯性矩为：,（1）计算,该组合截面的惯性矩为,例7-8 由两个No.8槽钢和两块横截面为10cm1cm钢板组成的截面，如图所示，试求截面对于两个坐标轴的惯性矩。,解：,每一钢板对z轴的惯性矩为：,（2）计算,从型钢表中查得每一槽钢形心对zc轴的距离,由平行轴公式得每一槽钢对 的惯性矩为,该组合截面的惯性矩为,7.4.4 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩,任意面元dA 在旧坐标系ozy和新坐标系oz1y1的关系为：,代入惯性矩的定义式：,7.4 截面的几何性质,利用二倍
14、角函数代入上式，得转轴公式 ：,7.4 截面的几何性质,截面对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。,7.4 截面的几何性质,(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。,(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。,(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时的坐标轴。,(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。,重要概念：,7.4 截面的几何性质,(5) 化简后可得主惯性矩的计算公式：,极大值Imax,极小值Imin,7.4 截面的几何性质,(6) 几个结论,若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一
15、，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。,若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。,若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。,7.4 截面的几何性质,作业,7-4 a) 7-6,1、纯弯曲,AC、DB段既有剪力又有弯矩，所以横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲。,CD段只有弯矩而无剪力，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。,7.5 梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算,7.5.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力,2、实验观察,变形前,变形后,变形后 mm nn 仍为直线，且垂直于aa,bb。,根据实验结果，可假设：
16、变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。,7.5 梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算,2、实验观察,变形前,变形后,由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。,中间必有一层保持原长，这一层称为: 中性层,7.5 梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算,2、实验观察,cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴。,除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。,7.5 梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算,3、纯弯曲时正应力公式的推导变形几何关系,从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:,中性层位于CC,7.5 梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算,3、纯弯曲时正应力公式的推导物理关系,纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克
