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1、将傅里叶定律应用于贴壁流体层，得：,而根据牛顿冷却公式，有：,结合上述两式，可得对流换热微分方程式：,1：回顾（一）对流换热概述,（二）边界层（Boundary layer）理论,边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。,1 边界层定义 速度边界层 (a) 定义,流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。,对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。普朗特把垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度边界层
2、。,于是，流体流过固体壁面的流场就可人为地分成两个不同的区域。,其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化； 其二是势流区，这里流体粘性力的作用非常微弱，可视为无粘性的理想流体流动，也就是势流流动。,(b)边界层的厚度,(x)很小：空气外掠平板，u=10m/s 时：,热（温度）边界层 (a) 定义,当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。,当速度变化达到 时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 (x),对于层流流动：温度呈抛物线分布 对于湍流
3、流动：温度呈幂函数分布,湍流边界层贴壁处温度梯度明显大,湍流换热比层流换热强！,边界层理论小结,粘性流体在固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。在边界层内存在较大的速度梯度，而主流区内的速度梯度则几乎等于零； 边界层厚度与壁面尺寸L相比是一个很小的量； 边界层内流动分为层流和湍流，划分判据为Rec， 对于平板，一般情况下Rec 5105时为层流；对于圆管内流动， Rec 2300时为层流。湍流边界层内紧靠壁面处仍有极薄层保持层流状态，为层流底层； 主流区内的流动可视为理想流体流动，边界层内的流动要用粘性流体的边界层微分方程组描述；,（三）对流换热问题的数学描述,（1）连续性方程：,（2
4、）动量微分方程（ Navier-Stokes方程）,在x方向上,y方向上,其中 ，动量方程的左边项为惯性力项，右边第一项为体积力项，右边第二项为压力梯度项，最后一项为粘滞力项,（3）能量微分方程,于是，对于常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体，得层流流动对流换热微分方程组,4个方程，4个未知量（u, v, p, t） 。,（4） 单值性条件,完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件 单值性条件包括：几何、物理、时间、和边界条件, 几何条件：说明对流换热过程中的几何形状和大小，平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等 物理条件：说明对
5、流换热过程物理特征，如：物性参数 、 、c 和 的数值，是否随温度 和压力变化；有无内热源、大小和分布,时间条件：说明在时间上对流换热过程的特点，稳态对流换热过程不需要时间条件 与时间无关,边界条件：说明对流换热过程的边界特点，边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件 （1）第一类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的温度值 （2）第二类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值,2：数量级分析与 边界层微分方程组的简化,2-1：数量级分析,(a)定义：比较方程式中各项数量级的相对大小，保留数量级较大的项，舍去数量级较小的项，实现方程式的合理简化。 (b)方法：首先计算各相应量
6、在有关区间的积分平均绝对值，确定基本量的数量级，应用数量级分析边界层微分方程组。,主流速度：,温度：,壁面特征长度：,边界层厚度：,x与L相当，即：,0(1)、0()表示数量级为1和 ，1 。 “” 相当于,（c）5个基本量的数量级：,（1）连续性方程：,（2）动量微分方程（ Navier-Stokes方程）,在x方向上,y方向上,（3）能量微分方程,于是，边界层微分方程组可简化为,（1）连续性方程：,（2）动量守恒方程：,（3）能量守恒方程：,由于t是一个小量，则可知：,由流体力学知识：,于是，,则动量方程可改写为：,若u=const，则可得,可见此时边界层的动量方程和能量方程有完全一致的表
7、达式，这意味着边界层中动量传递与能量传递的规律相似。,2-2 无量纲形式的对流换热微分方程组,为更明显地反映方程组所包含的物理规律，习惯上可把方程写成无量纲形式。可选取对流换热过程中有关变量的特征值，然后所有变量无量纲化，进而导出无量纲形式的对流换热微分方程组。,引入：,则边界层的控制微分方程组可写为：,（1）连续性方程：,动量守恒方程：,能量守恒方程：,其中，,2-3 特征尺寸，特征流速和定性温度,对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应变量的特征值，然后进行无量纲化的工作，这些特征参数是流场的代表性的数值，分别表征了流场的几何特征、流动特征和换热特征。,特征尺寸，它反映了流场的几何特
8、征，对于不同的流场特征尺寸的选择是不同的。如，对流体平行流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸；管内流体流动选择垂直于流动方向的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。,特征流速，它反映了流体流场的流动特征。不同的流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。 如，流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸； 流体管内流动，管子截面上的平均流速可作为特征流速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流速。,定性温度，无量纲准则中的物性量是温度的函数，确定物性量数值的温度称为定性温度。对于不同的流场定性温度的选择是不同的。 外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值，称为
9、膜温度； 内部流动常选择管内流体进出口温度的平均值（算术平均值或对数平均值），当然也有例外。,2-4 外掠平板层流换热微分方程式的分析解,则求解动量方程可得：,对于主流场匀速u、均温t ,并给定壁温t 的常物性外掠平板层流换热问题，如引入以下参数,求解能量方程可得：,其中，hx为局部对流换热系数。,改写上式为,这里，Nux为努塞尔数，为无量纲参数。,这里：,，以x为特征长度得雷诺数；,努塞尔（Nusselt）数的物理意义：反映了给定流场的换热能力与其导热能力的对比关系。这是一个在对流换热计算中必须要加以确定的准则。,Nux的一般表达式为。,注意：努塞尔特准则与非稳态导热分析中的Bi数形式上是相
10、似的。但Nu中的Lf为流场的特征尺寸，f为流体的导热系数；而Bi中的Ls为固体系统的特征尺寸，s为固体的导热系数。它们虽然都表示边界上的无量纲温度梯度，但一个在流体侧一个在固体侧。,记为,对于常壁温平板，板长为L的平均换热系数为,定性温度取为主流体和壁面的平均温度。,另外，由于,若Pr=1，则可知无量纲速度和无量纲温度的分布曲线完全一致，且有,若Pr1，则由分析解得,例51： 热边界层中特定位置x处的温度分布由下式给出 ， 其中 A,B,C为常数。试求相应的局部换热系数hx的表达式。,分析：计算hx的公式主要有：对流换热微分方程式和努塞尔数准则。根据本例条件，应该采用对流换热微分方程式计算。,由于， ; 于是 得,例52： 25的水以1.2m/s的速度外掠长为250mm的平板，已知壁面温度 求 处的 ， ， ， ，,，,及全板平均Cf和h.,分析：,定性温度取为tm=(tf+tw)/2=40,查水的物性参数，得0.0635W/m，0.65910-6, Pr=4.31,则得,于是,由于,得,全板平均,而,得,全板平均,壁面上的温度梯度可由对流换热微分方程解得,作业: 5-8, 5-10, 5-41,
