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1、第二章 导数与微分,第一节 导数的概念,第二节 函数的求导法则,第三节 高阶导数,第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,第五节 函数的微分,第六节 边际与弹性,第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数,一、 隐函数的导数,二、 由参数方程所确定的函数的导数,一、 隐函数的导数,前面我们讨论的函数都是因变量y可以写成x的明显表达式,y=f(x),这样的函数叫做显函数.但是有许多函数，变量x,y之间的,关系是由一个方程,所确定的,这样的函数称为隐函数.,例如,在方程,相应的就有一个满足方程的y值与之对应,这个方程确定了y是x的,的函数.,对于较简单的隐函数,可以将其化为显函数.例如,
2、可以解出,而多数隐函数将其化为显函数是比较复杂,的,甚至是不可能的,如,举例说明隐函数的求导方法.,例1,方程两边分别对 x 求导数, 并注意 y 是 x 的函数.,解,当然这个例子也可以先求出显函数,再求其导,数.即,解得,这两种方法求出的导数是一样的.由此可,见,求隐函数的导数时,没有必要把它化为显函数再求导.,例2,解,所以,所以,在点(0,1)处,故在点(0,1)处的切线方程是,即,例3,解,整理得,例4,解,即,上式两端再对x求导,注意y仍然是x的函数,于是有,把y的一阶导数代入上式,得,例5,形如这样的函数称为幂指函数.,上式两边分别对 x 求导, 得,先将等式两边取对数 ，,解,
3、化为隐函数,即,求导方法求导,这种求导数的方法称为对数求导法.,在函数的求导运算中，经常会遇到多个因子通过乘、除、,乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的导数.,我们可以将这些函数先取对数化为隐函数,然后根据隐函数的求,例6,两边取对数 ，得,解,当x 1时，,当x 1时，,由此可见,把绝对值符号省略.,所以用对数求导法时,往往,将（1）式两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数, 得,例如，,二、 由参数方程所确定的函数的导数,函数关系除了用显式和隐式（方程）的形式来表达之外，,在某些情况下，函数y与自变量x的关系还可以通过参数方程来,表示.若参数方程,确定y与x之间的函
4、数关系，则称此函数关系所表达的函数为由,参数方程(2)所确定的函数.,(2),表示以原点为圆心，r为半径的圆周方程,下面我们来讨论这类函数的求导方法.,且该,数可以看作是由,则由参数方程(2)所确定的函,则根据复合函数和,反函数的求导导数法则, 可得,由商及复合函数的,求导法则可得y对x的二阶导数，即,例7,解,所求切线方程,相应点处的切线方程.,一点P所描出的曲线称为摆线,其参数方程为,例8,解,一半径为a的圆，在x轴正向上无滑动地滚动,那么动圆上,求由摆线的参数方程所确定的函数y=y(x)的二阶导数.,16,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,
