《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第十一章 微分方程2常数项级数的判敛法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第十一章 微分方程2常数项级数的判敛法（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,二、交错级数及其审敛法,三、任意项级数的审敛法,第二节,一、正项级数的判敛法,常数项级数的判敛法,2,一、正项级数及其审敛法,定义：,若,则称,为正项级数 .,注：正项级数,部分和数列,为单调递增。,引理1：收敛数列必有界。,引理2：单调有界数列必收敛。,3,定理 1. 正项级数,收敛,部分和数列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛 ,也收敛.,4,定理2 (比较审敛法),且存在,对一切,有,1、 若级数,则级数,2、 若级数,则级数,则有：,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,两个正项级数,5,解: 1.,发散 ,例1：判断下列级数的敛
2、散性,而,收敛,由比较判别法可知原级数收敛,2.,而,由比较判别法可知原级数发散,6,例2. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,发散 .,发散 ,2）若,7,由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。,8,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,推论：若存在,对一切,由比较审敛法可知 p 级数,9,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例3.,10,例4,11,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当
3、l = 0,(3) 当 l =+,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l + 时,12,例5,13,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知原式收敛。,例6. 判别级数,14,的敛散性.,例7. 判别级数,的敛散性 .,解:,例8. 判别级数,解:,15,例9：判别级数的敛散性:,解: (1),故原级数收敛 .,不是 p级数,(2),故原级数发散 .,16,例10. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知：,17,推论：设,为正项级数,如果,如果,则：,其中,则：,18,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2)
4、 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,19,例11：判断下列级数的敛散性,20,解：,原级数收敛；,比值判别法失效！,原级数发散；,21,因分母的最高次数与分子的最高次数之差为,则取,为 p 级数，且 p1, 则原级数收敛。,22,故级数收敛。,23,解：考虑以,为通项的级数,用比值法知级数收敛，,例12：求证,24,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,则,为正项级数, 且,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,25
5、,例13：判断下列级数的敛散性,26,解：,原级数发散,原级数收敛,原级数收敛,27,原级数收敛,28,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,29,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,30,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,31,例14：判断交错级数,设：,的敛散性。,解：,由于：,32,三、任意项级数的审敛法,定义: 对任意项级数,若,若原
6、级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称,收敛 ,原级数,绝对收敛 ；,则称原级数,条件收敛 .,可正可负可为零。,33,绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛.,条件收敛,34,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,思路： 设,发散。,中，若,则：,注：,的部分和分别为：,则：,收敛，,35,例15. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,36,证：,因此,收敛,绝对收敛.,37,38,例16：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。,分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别,法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。,解：,原级数条件收敛！,是发散的级数,39,
