《9月24ch08线性方程组的迭代法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《9月24ch08线性方程组的迭代法(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第8章,线性方程组的迭代法, Jacobi, G-S and SOR,2,内容提要,迭代算法基本概念 Jacobi 迭代法和 GaussSeidel 迭代法 SOR(超松弛)迭代法,3,本讲内容,Jacobi 迭代法 GaussSeidel 迭代法 SOR(超松弛)迭代法 迭代法收敛性分析,几个基本的迭代法,4,Jacobi 迭代,考虑线性方程组,Ax = b,其中 A=(aij)nn 非奇异,且对角线元素全不为 0,将 A 分裂成 A = D - L- U, 其中,Jacobi 迭代法,5,Jacobi 迭代,k = 0, 1, 2, ,令 M = D,N = L + U,可得 雅可比
2、(Jacobi) 迭代方法,迭代矩阵记为:,Jacobi 迭代法,6,Gauss-Seidel 迭代,在计算 时,如果用 代替 ,则可能会得到更好的收敛效果。,7,Gauss-Seidel 迭代,写成矩阵形式:,此迭代方法称为 高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法,k = 0, 1, 2, ,可得,迭代矩阵记为:,8,SOR 迭代,为了得到更好的收敛效果,可在修正项前乘以一个 松弛因子,于是可得迭代格式,G-S 迭代法的分量形式,9,SOR 迭代,写成矩阵形式:,可得, SOR (Successive Over-Relaxation) 迭代方法,迭代矩阵记为:,SOR 的优点:通
3、过选取合适的 ,可获得更快的收敛速度 SOR 的缺点:最优参数 的选取比较困难,10,Jacobi、G-S、SOR,Jacobi 迭代,SOR 迭代,G-S 迭代,11,举例,例:分别用 Jacobi、G-S、SOR 迭代解线性方程组,取初始向量 x(0) = ( 0, 0, 0 ),迭代过程中小数点后保留 4 位。,12,举例,G-S 迭代:,x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T,x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T,迭代可得:,13,举例,SOR 迭代:,取 = 1.1,迭代可得,x(1) = ( 0.5500, 3.13
4、50, -1.0257 )T,x(7) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T,如何确定 SOR 迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事,14,Jacobi 迭代收敛的充要条件 (J)1 G-S 迭代收敛的充要条件 (G)1 SOR 迭代收敛的充要条件 (L)1,收敛性,Jacobi 迭代收敛的充分条件 |J| 1 G-S 迭代收敛的充分条件 |G| 1 SOR 迭代收敛的充分条件 |L| 1,收敛性分析,15,对角占优矩阵,且至少有一个不等式严格成立,则称 A 为 弱对角占优; 若所有不等式都严格成立,则称 A 为 严格对角占优。,( i = 1, 2, . , n ),
5、定义:设 ARnn,若,对角占优矩阵,16,可约与不可约,定义:设 ARnn,若存在排列矩阵 P 使得,则称 A 为 可约矩阵;否则称为 不可约矩阵 。,不可约矩阵,17,Jacobi、G-S 收敛性,定理:若 A 严格对角占优或不可约弱对角占优,则 A 非奇异,定理:设 A 对称且 D 正定,则 Jacobi 迭代收敛的充要条件是 A 和 2D-A 都正定。,Jacobi 和 G-S 迭代法的收敛性,定理:设 A 对称且 D 正定,则 G-S 迭代收敛的充要条件是 A 正定。,18,SOR 收敛性,定理:若 SOR 迭代收敛,则 0 2。,SOR 收敛的必要条件,定理:若 A 对称正定,且 0 2,则 SOR 迭代收敛。,SOR 收敛的充分条件,定理:若 A 严格对角占优或不可约弱对角占优,且 0 1,则 SOR 迭代收敛。,19,举例,例:设 ,给出 Jacobi 和 G-S 收敛的充要条件,20,举例,解法二:,Jacobi 的迭代矩阵为,设 是 J 的特征值,则由 det(I - J) = 0 可得,( - a)2 ( +2a) = 0,Jacobi 收敛的充要条件是 (J)1 |1, 即 -0.5a0.5,G-S 迭代收敛的充要条件 (G)1,