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1、第7章 扭 转,7.1 扭转的概念,7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,7.3 薄壁圆筒的扭转,7.4 扭转时的应力和变形,7.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,工程实例,7.1 扭转的概念,7.1 扭转的概念,受力特点: 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶. 变形特点: 杆件的任意两个横截面发生绕轴线作相对转动.,一、外力偶矩的计算,Me作用在轴上的外力偶矩( N m ),n轴的转速( r/min ),P轴传递的功率(kW),7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,二、内力的计算,1.求内力,在n-n 截面处假想将轴截开 取左侧为研究对象,7.2 外力偶矩的计
2、算 扭矩和扭矩图,2.扭矩符号的规定,采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.,3.扭矩图,用平行于杆轴线的坐标 x 表示 横截面的位置;用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x 轴下方.,7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,Me3,Me4,Me1,7.2 外力偶
3、矩的计算 扭矩和扭矩图,Me2,解: 计算外力偶矩,Me2,Me3,Me1,Me4,B,C,A,D,7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,计算 CA 段内任横一截面 2-2 上的扭矩.假设 T 2为正值.,Me2,Me3,Me1,Me4,B,C,A,D,由平衡方程,结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩,同理,在 BC 段内,7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,在 AD 段内,作出扭矩图,从图中可见,最大扭矩在CA段内,7.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,一、应力分析,先在圆筒表面上画出一些纵向线及圆周线 施加一对外力偶后可观察到：,（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是
4、绕轴线作了相对转动；,（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小 和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；,（2）各纵向线均倾斜了同一微小 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形,7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,由此可以推论,（1）横截面上无正应力，只 有切应力；,（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.,由于各纵向线倾斜了同一角度，所以，同一圆周上各点处切应力数值相等。 由于筒壁很薄，故可近似地认为切应力沿壁厚均匀分布,7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,上式为薄壁圆筒扭转时横截面上 切应力的计算公式.,由薄壁圆筒扭横截面微内力矩和扭矩的关系得,
5、7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,二、切应力互等定理,在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力,其方向与 y 轴平行.,两侧面的内力元素 dy dz大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.其矩为( dy dz) dx,要满足平衡条件，在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素，它们组成力偶，其矩为( dx dz )dy 由 ( dy dz) dx = (dx dz ) dy 有 = ,7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,三、剪切胡克定律,由图所示的几何关系得,式中, r 为薄壁圆筒的外半径.,薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一
6、范围内时与 Me （在数值上等于 T ）成正比.,7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克定律,G -剪切弹性模量,三个弹性常数的关系,7.3 薄壁圆筒的扭转 切应力互等定理 剪切胡克定律,一、圆轴扭转时横截面上的应力,（1） 周向线仍为直线,且长度不变；,（2） 径向线保持为直线,只是绕轴 线旋转.,平面假设：变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.,取长为dx的微段，两截面的相对扭转角为 d,1、几何方面,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,从该微段中切取一楔形体,由几何关系及小变形假设,2、物理方
7、面,由剪切胡克定律,有,上式表明：同一圆周上各点切应力 均相同,且其值与 成正比， 与半径垂直.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,3、静力学方面,得：,令：,T,O,r,dA,dA,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,代入物理关系中得到,式中：T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,Ip 横截面对圆心的 极惯性矩,T,max,r,dA,dA,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,令：,（ Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.）,二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算,实心圆截面,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,空心圆截面,其中,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,三、,扭转变形,圆轴扭转时的变
8、形是用相对扭转角来度量的,其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对 扭转角.,长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算,扭转角 G Ip 称作抗扭刚度,单位长度转扭角,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,四、强度条件和刚度条件,强度条件：,刚度条件：,或,(/m),称作许可单位长度扭转角,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kNm, M2=4kNm, 材料的切变模量 G=80GPa.,（1） 画轴的扭矩图；,（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,解:（1）画轴的扭矩图,BC段,T1
9、 + Me2 = 0,T1 = - 4kNm,AB段,T2 + Me2 - Me1= 0,T2 =2kNm,画出扭矩图如图示，最大扭矩发生在BC段 Tmax = 4kNm,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,（2）求轴的最大切应力,并指出其位置,max,max,最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,例题3 图示阶梯圆轴,AB段的 直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kNm, MB = 36 kNm , MC =14 kNm. 已知材料的许用 切应力 = 80MPa,试校核该轴 的强度.,MeA,MeB,MeC,
10、A,B,C,解：作轴的扭矩图,分别校核两段轴的强度,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,AB段：,BC段：,因此,该轴满足强度要求.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,例题4 实心圆轴和空心圆轴（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比 = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.,l,d,(a),l,d2,D2,已知：,(b),7.4 圆轴扭转时的应力和变形,因此,解得,两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面 面积之比,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,
11、例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性量G=80GPa， DB=1. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA,解：画扭矩图,Tmax= 3Me,计算外力偶矩Me, DB= CB+ DC=1,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,（1）AD杆的最大切应力,（2）扭转角 CA,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,例题6 某汽车的主传动轴 是由40 号钢的电焊钢管制成,钢管外径D=76mm,壁厚=2.5mm, 轴传递的转矩Me=1.98kNm, 材料的许用切应力 =100MPa, 切变模量为 G = 80GPa, 轴的许可扭角 = 2/m 试校核轴的强度和刚度.,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,解：轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内、外径之比 =d/D=（2）/=0.934,由强度条件,由刚度条件,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使 max=96.1MPa,d=47.2mm,实心轴的直径为,两轴材料、长度均相同,故两轴 重量比等于两轴的横截面积比，,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.,其截面面积为,空心轴的截面面积为,7.4 圆轴扭转时的应力和变形,
