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1、,机械工业出版社,工程力学,佘斌 主编 胡红玉 郭磊 副主编 王路珍 蔡中兵 参编,9.4 平面应力状态应力分析,9.3 梁斜弯曲时的强度计算,9.2 杆件承受拉（压）与弯曲组合 变形时的强度计算,9.1 组合变形的概念与实例,第9章 组合变形时的强度计算,工程力学,9.5 广义胡克定律,9.6 强度理论和相当应力,9.7 圆轴承受弯扭组合变形时的强度计算,9.1 组合变形的概念与实例,一、基本变形,1. 轴向拉伸与压缩,2. 剪切,3.扭转,4.平面弯曲,二、组合变形,由两种或两种以上基本变形组合而成的变形称为组合变形， 将其强度计算称为组合变形时的强度计算。,压弯组合,压弯组合,弯扭组合,
2、9.1 组合变形的概念与实例,自测题45,自测题45-3 直角折杆ABCD如图所示，外力F作用在BCD平面内且平行于BC，则CD段为 变形，BC段为 变形，AB段为 变形。,CD段为弯曲变形,BC段为拉弯组合变形,AB段为弯扭组合变形,自测题45-4 如图所示，则： 图a所示为 变形；图b所示为 变形； 图c所示为 变形；图d所示为 变形。,自测题45,拉弯组合,弯扭组合,扭转,弯曲,三、组合变形的分析方法,9.1 组合变形的概念与实例,解决组合变形时的强度计算问题通常采用叠加法。,构件在外力作用下，若在小变形且材料服从胡克定律的条件下，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷作用所
3、引起的应力和变形不受其他载荷的影响。,9.1 组合变形的概念与实例,分析组合变形时强度计算问题的一般步骤 ：,(1)将载荷分解为若干简单载荷，使构件在各简单载荷下只产生基本变形,(2)分析基本变形时的内力, 确定危险截面,(3)确定危险点，应用叠加原理进行应力叠加,(4)对危险点的应力状态进行分析,(5)利用强度条件进行强度计算,四、组合变形类型,9.1 组合变形的概念与实例,第一类组合变形是危险点的应力叠加后为单向应力状态,如：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形、斜弯曲等,第二类组合变形是危险点的应力叠加后为复杂应力状态,如：弯曲与扭转的组合变形、拉伸（压缩）与扭转的组合变形等,可以使用单向应力状
4、态的强度条件,需要使用复杂应力状态下的强度条件,9.2 杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算,9.2.1 拉（压）与弯曲组合变形的受力方式,拉弯组合变形,偏心拉伸,9.2.2 拉（压）与弯曲组合变形时的应力,拉（压）与弯曲组合变形时的内力：,轴力和弯矩,杆件的危险截面：,轴力FN和弯矩Mmax 所在截面,轴力FN引起的正应力：,弯矩Mmax引起的正应力：,危险点的应力：,为正应力，应用叠加法求。,9.2 杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算,9.2.3 拉（压）与弯曲组合变形时的强度条件,拉（压）与弯曲组合变形时的危险点是单向应力状态。,强度条件为：,对于抗拉和抗压强度不等的材料，
5、强度条件为：,9.2 杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算,例9-1：图示梁，承受集中载荷F作用，试校核该梁的强度。已知：载荷F=10kN，梁长l=2m，载荷作用点与梁轴线的距离e=0.2m，方位角=45，梁为No.16工字钢，许用应力 =160MPa。,解：,(1)梁的外力分析,(2)梁的内力分析，确定危险截面,画梁的轴力图和弯矩图,危险截面在固定端A截面。,例9-1,(3)梁的应力分析，确定危险点,（4）强度校核,查型钢表可得NO.16工字钢：,故该梁强度足够。,例9-1,解：,例9-2：图示为钻床结构简图，若F=15kN，材料的许用拉应力+=35MPa，许用压应力-=120MPa。
6、试求圆截面立柱所需的直径d。,解：,（1）确定危险截面,（2）确定立柱横截面上的内力,（3）确定最大应力,例9-2,（4）强度计算,例9-2,解：,先按弯曲正应力强度条件初选直径d。,取d=121mm。,再按拉伸与弯曲组合变形校核强度。,例9-2,强度足够。,作业,9-1 9-4,9.3 梁斜弯曲时的强度计算,9.3.1 梁斜弯曲的概念,9.3.2 产生斜弯曲的加载方式,9.3 梁斜弯曲时的强度计算,9.3.3 梁斜弯曲时横截面上的正应力,9.3 梁斜弯曲时的强度计算,9.3.4 梁斜弯曲时的最大正应力和强度条件,9.3 梁斜弯曲时的强度计算,强度条件,例9-3：图示矩形截面悬臂梁。已知：F1
7、=1kN，F2=2kN。试确定危险截面、危险点所在位置，并计算梁内最大正应力值。若将截面改成直径的圆形，试计算最大正应力。,解：,（1）外力分析,（2）内力分析,例9-3,（3）应力分析,例9-3,解：,（4）若将截面改成的圆形,例9-3,解：,例9-4：一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁，如图所示。吊车大梁由No.25a热轧普通工字钢制成，许用应力=160MPa，跨度l=4m。起吊的重物的重量F=40kN，作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角=5，并且通过截面的形心。试校核吊车大梁的强度。,解：,（1）外力分析,（2）内力分析，确定危险截面,例9-4,（3）应力分
8、析，确定危险点，并校核梁的强度,由型钢表查得No.25工字钢的两个抗弯截面系数分别为,故此梁强度不够。,例9-4,解：,（4）讨论,例9-4,解：,作业,9-7 9-8,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,低碳钢拉伸实验,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸实验,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢扭转实验,铸铁扭转实验,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,微元单元体,单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,原始单元
9、体,用横截面和与之正交的纵向截面截取的单元体,回顾横力弯曲时横截面上点的应力:,考虑中性层上的A点：,正应力等于0，切应力最大。,考虑梁边缘上的B点：,正应力最大，切应力为0。,同一面上不同点的应力各不相同。,此即应力的点的概念。,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,应 力,哪一个面上？ 哪一点？,哪一点？ 哪个方向面？,指明,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,例9-5：如图所示的受轴向拉伸的直杆，已知拉力为F，横截面面积为A，试用原始单元体表示M点处的应力状态，并确定应力的大小。,解：,（1）求
10、内力,（2）取原始单元体,（3）求应力,例9-5,例9-6：如图所示简支梁上A、B点位于跨中截面左侧，C点位于跨中截面右侧。已知：F=2kN，l=1m。试用原始单元体表示A、B、C三点处的应力状态。,解：,（1）作内力图,（2）取原始单元体,例9-6,（3）求应力,例9-6,解：,主单元体： 各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面： 切应力为零的平面。,主应力： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,主应力排列规定：按代数值大小,若,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,三个主应力中只有一个不等于0 单向应力
11、状态,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.1应力状态的概念,9.4.2 任意方向面上应力的确定,已知一平面应力状态：,斜截面的外法线与x轴间的夹角为的截面。,截面-,9.4 平面应力状态应力分析,应力的正负和斜截面夹角的正负规定：,1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。,
12、9.4 平面应力状态应力分析,9.4.2 任意方向面上应力的确定,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.2 任意方向面上应力的确定,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.2 任意方向面上应力的确定,由此可得，任一斜截面上的应力分量为：,利用三角函数公式,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.2 任意方向面上应力的确定,任一斜截面上的应力分量为：,9.4 平面应力状态应力分析,9.4.2 任意方向面上应力的确定,例9-7：分析轴向拉伸杆件的最大切应力作用面，说明低碳钢试件拉伸时发生屈服的主要原因。,解：,9.4.3 应力状态中的主应力与最大切应力,sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，对a求
13、导数可得到其极值。,若a = a0时，导数为0,通过上式可以求出相差 /2的两个角度a0 ，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。,9.4 平面应力状态应力分析,若将a0的值代入切应力公式:,可得:ta0=0,得到以下结论:,1) 切应力为0的平面上，正应力为极值；,2) 切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是正应力极值。,将a0代入sa的计算公式，,计算得到正应力极值。,9.4.3 应力状态中的主应力与最大切应力,9.4 平面应力状态应力分析,采用同样的方法对ta式求导,若a =a1时，,则a1确定的斜截面上的切应力
14、极值。,代入公式:,9.4.3 应力状态中的主应力与最大切应力,9.4 平面应力状态应力分析,最大正应力所在的平面:,最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45。,最大切应力所在的平面:,9.4.3 应力状态中的主应力与最大切应力,9.4 平面应力状态应力分析,进一步分析可知，过一点应力状态中的最大切应力为,例9-8：某原始单元体各面上的应力如图所示（应力单位为MPa）。试求：(1)ab斜截面上的正应力和切应力；(2)该点的主应力和最大切应力。,解：,(1)求 ab斜截面上的正应力和切应力,(2)求主应力和最大切应力,例9-8,作业,9-10b 9-11,9.5 广义胡克定律,1、广义胡克
15、定律的简单推导,前面谈到的胡克定律:,单向拉伸条件下杆件产生横向应变:,纯剪切情况下:,最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:,根据切应力互等定理：,则独立的应力分量只有六个。,对于各向同性材料: 小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。 利用叠加法可求得各方向上的线应变。,1、广义胡克定律的简单推导,9.5 广义胡克定律,=,+,+,+,+,1、广义胡克定律的简单推导,9.5 广义胡克定律,利用同样的方法可以求得 y 和 z 方向上的线应变。最后可得:,切应变和切应力之间， 与正应力无关，因此:,以上被称为广义胡克
16、定律。,1、广义胡克定律的简单推导,9.5 广义胡克定律,当单元体的周围六个面皆为主平面时:,1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。,1、广义胡克定律的简单推导,9.5 广义胡克定律,例9-9：图示圆轴直径为d，其两端承受外力偶矩Me作用。今由实验 测得轴表面与轴线成45方向的线应变45。试求外力偶矩Me之值。材料的弹性常数E、均为已知。,解：,例9-9：图示圆轴直径为d，其两端承受外力偶矩Me作用。今由实验 测得轴表面与轴线成45方向的线应变45。试求外力偶矩Me之值。材料的弹性常数E、均为已知。,解：,例9-10：已知一点的应力状态如图所示，且单元体的边长，试求沿其对角线方向的线应变。,解：,作业,9-12 9-14,9.6 强度理论和相当应力,前面建立了杆件在基本变形下危险点为单向应力
