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1、,工程振动基础,第3章 二自由度系统的振动,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,工程振动基础,西北工业大学,第3章 二自由度系统的振动,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,第3章 二自由度系统的振动,工程振动基础,3.3 无阻尼动力吸振器,3.2 二自由度系统的强迫振动,3.4 离心摆式吸振器,3.1 二自由度系统的自由振动,第3章 二自由度系统的振动,3.1 二自由度系统的自由振动,工程振动基础,3.1 二自由度系统的自由振动,如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由
2、度系统。,多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动与强迫振动。,图3-1 二自由度系统模型,对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分离体在水平方向方程得,(3-1),整理得,(3-2),3.1 二自由度系统的自由振动,(3-2),由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入,(3-3),常数矩阵m ，c 和 k分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。,3.1 二自由度系统的自由振动,(3-4),和 分别称为二维位移向量和力向量。,（3-5）,由(3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的
3、非对角线元素满足,(3-6),所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式,3.1 二自由度系统的自由振动,表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为,(3-7),此处T表示矩阵转置，只有当m ，c ，k 均为对角阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。,本章首先讨论当 为零时自由振动情况，然后讨论 为简谐激振力的情况。,3.1 二自由度系统的自由振动,时，方程(3-2)变为,(3-8),上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见,(3-9),(3-8)式可重写为,(3-10),若 和 为方程的一组解，那么 和 也是系统的一组解，这里为任意常数。,3.1 二自由度系统的自由振动,当系统没有阻尼和
4、外部激振力时，也即,和,下面我们试图寻 求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在性，这种解为 与 随时间有相同的规律性。如果这一类型的解存在，那么 必然为一不随时间变化的常数。设 与 随时间的变化规律为 ，所要寻求的解可表示为,(3-11),这里u1，u2 为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得,(3-12),3.1 二自由度系统的自由振动,要使(3-12)有解，则必须,(3-13),由于 为实常数，所以这里也是实常数。因此只要,(3-14),并且,(3-15),有解。,3.1 二自由度系统的自由振动,设方程(3-14)有指数形式的解,(3-16),代入(3-14)，得s必须满足下
5、面的方程,(3-17),s有两个解,这样解(3-16)变为,(3-18),(3-19),3.1 二自由度系统的自由振动,不难证明 是正实数值。如果 取负值，那么当 t ，(3-19)式中的 f(t) 第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。,因此，应取正值，设 = 2 ，为实数。方(3-18)变为,(3-19)式的解相应地变为,(3-21),这里 A1 和 A2 一般为复常数。,(3-20),3.1 二自由度系统的自由振动,利用 和 与 和 的关系,另外引入下面的表达式,(3-22),可得,(3-23),(3-24),解(3-23)变为,(3-25),这
6、里C为一任意常数， 为简谐运动的频率， 为简谐运动的相角。,3.1 二自由度系统的自由振动,讨论 的取值。在方程(3-15)中令 ，得,(3-26),上式的未知数为 和 ， 为参数，(3-26)有解的条件是,(3-27),其中 称为特征行列式。 展开得,(3-28),上式称为特征方程或频率方程。,3.1 二自由度系统的自由振动,方程的两个根为,(3-29),上式表明只有两种模式（对应频率 和 ）的同步运动可能发生。 和 称为系统的自然频率。,3.1 二自由度系统的自由振动,最后确定常数 和 的值， 和 的值与自然频率 和 有关。 将对应于 的值表示成 和 ，对应于 的值表示成 和 ，将 和 代
7、入方程(3-26)可得,(3-30a),(3-30b),3.1 二自由度系统的自由振动,和 可表示为,(3-31a),(3-31b),和 称为模态向量，由自然频率 和模态向量 构成系统的一阶振动模态，而 和 构成系统的二阶振动模态。,3.1 二自由度系统的自由振动,回到方程(3-11)和(3-25)，系统随时间的运动写成矩阵形式有,(3-32),(3-33),其中常数C1、C2和相角 、 由系统的初始条件决定。,系统任意时刻的运动即,3.1 二自由度系统的自由振动,例3-1 考虑图3-1所示的系统，设 ， ，并设 ， ， ， ，求系统的自然模态。,3.1 二自由度系统的自由振动,图3-1 二自
8、由度系统模型,由方程(3-28)，系统的频率方程为,（a）,其根为,(b),解：由式(3-9)可得刚度矩阵 的元素为,3.1 二自由度系统的自由振动,系统的自然频率为,(c),将 和 代入方程(3-30)式，得,(d),则自然模态向量为,(e),3.1 二自由度系统的自由振动,将模态形状绘图如图3-2所示 注意到第二阶模态有一个位移为零的点，此点称为节点。,图3-2 模态振型图,3.1 二自由度系统的自由振动,例3-2 如图3-3所示，为一理想化的汽车简化模型，将车体视为刚体，总质量为m，质心C距弹簧 k1 、k2 的距离分别为a , b。 k1 、k2为悬架系统的刚度。车体对质心C的转动惯量
9、为IC ，图3-3b为系统的分离体图，运动位移为车体质心C点的垂直运动 x（t）和绕C点的转动（t）。由系统的静平衡位置计起。,3.1 二自由度系统的自由振动,图3-3 汽车简化模型之一,解：有两个运动方程，一个相应于横向位移 x（t） ，一个相应于转动运动 （t） ，由图3-3b，在垂直方向的力平衡方程为,(3-34a),对C点力矩平衡方程为,(3-34b),整理可得,(3-35),写成矩阵形式为,(3-36),3.1 二自由度系统的自由振动,下面用一组新的坐标系来导出系统的运动方程，为此，设车体上存在一点O ，若在O点作用一垂直方向的力，此时，车体在垂直方向的唯一占主导地位，因而假设只有垂
10、直方向的位移，无偏转运动。,设O距弹簧k1，k2的距离分别为a1，b1，设 x1表示O点的横向位移，则有对点的力矩平衡方程 k1x1a1 = k2x1b1或 k1a1 = k2b1 。以x1和（t）为坐标，分离体图如图3-4b。,3.1 二自由度系统的自由振动,图3-4 汽车简化模型之二,3.1 二自由度系统的自由振动,系统的运动方程如下,(3-37),(3-38),其中IO 为车体对O点的转动惯量。设a1 a = e ，注意到上式可简化为,图3-4 汽车简化模型之二,写成矩阵形式有,(3-39),3.1 二自由度系统的自由振动,图3-4 汽车简化模型之二,对比(3-36)和(3-39)发现，
11、用不同的坐标系，系统的耦合是不同的:, 在方程(3-36)中，用质心坐标x和绕质心转角时，系统通过刚度项耦合，这种耦合称为静力耦合或弹性耦合。, 而在方程(3-39)中系统通过惯性项耦合，这种耦合称为动力耦合或惯性耦合。很明显系统耦合的性质取决于所选的坐标系，而并非系统的基本性质。,3.1 二自由度系统的自由振动,(3-39),(3-36),现在的问题是，是否存在一种系统坐标 q1（t）和q2（t） ，当使用此坐标系时，系统方程既无静力耦合，又无惯性耦合。下面将会看到，这类坐标系的确存在，并将其称为自然坐标或主坐标。,3.1 二自由度系统的自由振动,现在的问题是，是否存在一种系统坐标 q1（t
12、）和q2（t） ，当使用此坐标系时，系统方程既无静力耦合，又无惯性耦合。下面将会看到，这类坐标系的确存在，并将其称为自然坐标或主坐标。,对(3-10)式表示的二自由度系统的运动方程，将其解表示成以下形式,其中r1 ，r2为由(3-30)式表示的 , 。,(3-40),这里用(3-40)的形式似乎是一种人为的设计，但到下一章将会看到它的逻辑性和合理性。,(3-10),3.1 二自由度系统的自由振动,将(3-40)代入(3-10)，得,(3-41a),(3-41b),将(3-41a)乘以m2r2 ，(3-41b) 乘以m1 ，两式相减得,(3-42a),再给(3-41a) 乘以 m2r1，(3-4
13、1b) 乘以 m1，由第二式减去第一式得,(3-42b),将(3-30)式代入(3-42)，可简化为,3.1 二自由度系统的自由振动,(3-43),与(3-10)式比较，发现以q1(t)和q2(t)为坐标的方程 (3-43)无耦合项，是完全相互独立的。,像 q1(t)和q2(t)这样的能使系统运动方程相互独立的坐标系称为自然坐标或主坐标。,方程(3-43)的解为,(3-44),将(3-44)代入(3-40)得,(3-45),3.1 二自由度系统的自由振动,其中 和 为模态向量，振幅C1和C2以及相角 1和2由初始条件决定，方程(3-46)与(3-33)完全相同。说明系统在任意时刻的运动是自然振
14、型与相应模态响应乘积的叠加。,(3-46),写成矩阵形式,3.1 二自由度系统的自由振动,例3-3 对于例3-2讨论的简化汽车模型，设系统参数的取值为： m1200 kg，IC=2500 kgm2，k1=28000 N/m，k2=32000 N/m，a=1.5m，b=2.0m，试确定系统的主坐标。,要确定系统的主坐标，必须首先确定系统的自然模态，将上述参数代入方程(3-36)得,(a),解：,相应的特征值问题为,(b),3.1 二自由度系统的自由振动,(c),其解为,(d),系统的自然频率为16.70 rad/s 和 29.03 rad/s。,将12代入方程(b)的第一行，得,得到,(e),3
15、.1 二自由度系统的自由振动,再将 代入方程(b)的第一行，得到,由此得到,(f),系统的自然模态为,(g),将方程(e)和(f)代入(3-40)，其中 ， 得到,(h),将上式代入运动方程(a)，并经过(3-41)和(3-42)的步骤后，可简化得到如下的以自然坐标表示的相互独立的系统运动方程,3.1 二自由度系统的自由振动,(i),因此，方程可以分别求解，其解为,(j),系统的运动可表示为,(k),前面已经提到，二自由度系统自由响应解的幅值C1和C2以及相角1和2 取决于系统的初始条件。,3.1 二自由度系统的自由振动,(3-47),设系统的初始条件为,， ， ，,将初始条件代入方程(3-45),得,(3-45),3.1 二自由度系统的自由振动,(3-47)是关于4个未知 ， ， ， 的代数方程，其解为,(3-48),3.1 二自由度系统的自由振动,由(3-
