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1、第6章 运动学,运动学模型 参考系 变矢量的导数,6.1 运动学模型与参考系,点 所谓点，是不计及几何形状和尺寸的理想化物体。 刚体 物体中任意两点之间的距离保持不变的物体。 机构（即几何可变体系） 即若干个刚体按一定方式联结在一起的刚体组， 并且这个刚体组有一定的运动自由度。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.1.1 运动学模型,运动学模型之一： 点,运动描述： 一般来说，一个点的运动可以用三个独立的函数 来描述：x(t)、y(t)、z(t)，称为有三个自由度的运动。,简化标准： 在实际运动中，只有当物体的转动和变形对其运动影 响不大时，才能将其简化成点。,点系的运动描述： 由
2、n点所组成的点系的运动一般可以用3n个函数来描述： xi(t)、yi(t)、zi(t) (i=1,2,n) 注意：约束条件对函数独立性的影响： 如果这n个点之间有某些被称为几何约束的条件存在， 则这3n个函数将不再独立。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,约束条件对函数独立性的影响,A、B两点之间的距离是固定的， 即： (xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2=const 因此真正独立的只有五个函数， 我们可以用它们来描述这两个点的运 动。,图6.1 彼此固结的两点,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,运动学模型之二： 刚体,简化标准： 如果实际物体变形所引起的位
3、移远小于运动所引起 的位移时，则可以用刚体模型。 刚体的位移： 即刚体上同一点在不同时刻的位置矢量差。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,刚体运动的描述（示例）,1.刚体的位置随着三点位置的确定而确定。 2.整个刚体可用六个独立的函数来描述。 譬如：先用xA、yA、zA、x、y来决定A、B两点的位置，然后用绕AB轴转动的e来决定C点的位置。,图6.2 刚体位置 的决定,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,例 6.1 图6.3所示是机械工程上常见的曲柄-滑块系统。A、 B、C均为铰结点，摇杆AB、连杆BC和滑块C均是刚 体，且只能在x、y平面内运动。其运动自由度分析如下：,a)
4、 A点位移0个B点2个位移C点1个位移共3个位移 b) AB长度不变BC长度不变共2个约束条件 c) 所以只有3-21个独立的位移。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,图6.3 曲柄-滑块系统,参考体 被选取作为描述另一点或物体运动的参考的物体 称为参考体。 参考系(参考坐标系) 与参考体固联的坐标系称为参考坐标系，简称 参考系。 参考体与参考系的区别 一般来说，参考体总是一个有限大的物体，而 参考系应理解为参考体固结的整个空间。,6.1. 2 参考系,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,不同参考系的异同,对不同参考系来说(图6.4)可以用矢量加法表示： (6.2),第6章
5、运动学,6.1 运动学模型与参考系,图6.4 不同参考系下点A的位矢,速度和加速度 直角坐标的描述 自然坐标的描述 极坐标和柱坐标的描述,6.2 质点的运动,质点 赋予一定质量的点。 速度 加速度,(6.3),(6.4),第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.2.1 速度和加速度的定义,动点M的位置矢量,动点M的速度矢量,动点M的加速度矢量,(6.5),(6.6),6.2.2 直角坐标的描述,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,例 6.2 图6.5中梯子上M点到A、B两点的距离分别是a 和b， ，分析M点的运动。,图6.5 梯子,M点的
6、坐标为,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.2.3 自然坐标的描述,自然坐标法： 利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来 描述和分析点的运动的方法。,图6.6 自然坐标系,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,自然坐标描述中的若干准备概念,密切面 令M和无限接近M时，他们对应的单位切线矢量t、 t 所决定的趋向一极限位置的极限平面。,法平面 过点M并与切线 t 垂直的平面。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,自然坐标系的定义,主法线（单位主法线矢量n） 法平面和密切面的交线，指向轨迹内凹一侧。,副
7、法线（单位副法线矢量b） 过点M且垂直于切线和主法线的直线，方向由式b = t x n构成的右手系决定。,自然坐标系 以M为原点， t 、n和b 构成的正交坐标系称为轨 迹在点M 的自然坐标系。,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,曲率和曲率半径,曲率表示曲线的弯曲程度。 s为点M到点M的弧长。 为切线 t 到 t 的转角。,图6.6 自然坐标系,M点曲率为：,(6.9),M点曲率半径为：,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,曲率的计算,图6.6 自然坐标系,s为点M到点M的弧长。 为切线 t 到 t 的转角。,(6.10),由上图可知：
8、,当M趋向M时，的方向趋向n，从而,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,动点在自然坐标系上的投影,图7.7 自然坐标系,(6.11),(6.12),(6.14),由s的定义可知：,其中切向加速度为 ，法向加速度为 。,所以加速的大小和方向为,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,极坐标用于描述点的平面运动，在极坐标中，点M 的位置由两个独立函数r(t)和(t)来给出。,柱坐标用于描述点的空间运动，在柱坐标中，点M的位置由r、和z来描述。,极坐标和柱坐标描述的对比,6.2.4 极坐标和柱坐标的描述,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,
9、6.2 质点的运动,极坐标的描述,在极坐标中，点M的位置由两个独立函数r(t)和(t)来给出。,图6.7 极坐标,位置矢量,加速度矢量,(6.15),(6.16),(6.17),第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,柱坐标的描述,位置矢量,速度矢量,(6.18),(6.19),(6.20),在柱坐标中，点M的位置由r、和z来描述。,图6.8 柱坐标,加速度矢量,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,图6.8 螺旋线,由式(6.19)可得速度分量为,由式(6.20)可得加速度分量为,例 6.3 如图6.8所示，M点的运动方程为,第6章 运动学,
10、6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,点M沿螺旋线作匀速运动,又 由式(6.13),例 6.3 运用自然坐标系知识,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,图6.8 螺旋线,刚体的平行移动 刚体绕定轴转动,第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的运动,63 刚体的简单（基本）运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,平行移动（平动）定义 刚体运动时，其上的任一直线在空间的方位始终保持 不变的运动。 平行移动的最主要性质 在同一瞬间，刚体上每一点的速度和加速度是相同的。,6.3.1 刚体的平行移动,第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的
11、运动,63 刚体的简单（基本）运动,刚体平动性质的证明,在同一瞬间，刚体上每一点的速度和加速度是相同的。,图6.9 刚体的平动,如图,根据平动定义,证明：,证毕。,第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的运动,63 刚体的简单（基本）运动,绕定轴转动（转动）定义 刚体运动时，其上或延伸部分始终存在一根固定不动的直线，这种运动称为刚体绕定轴转动。 转角 角速度 角加速度,6.3.2 刚体绕定轴转动,第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的运动,63 刚体的简单（基本）运动,刚体绕定轴转动的运动分析,a) 选定转动轴的一个正向 k。,图6.10 刚体的定轴转动,一、转角
12、正向的确定,b) 用右手螺旋法则决定转角正向。,c) 写成矢量形式,(6.21),d) 对于定轴转动来说 k 是常量，所以,(6.22),第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的运动,63 刚体的简单（基本）运动,刚体绕定轴转动的运动分析,a) 任取转动轴上一点O为原点。,图6.10 刚体的定轴转动,二、刚体上各点的运动状态,b) 刚体上任意点M矢径 r = rOM 。,c) M点速度,(6.23),d) M点加速度,(6.24),.,此为法向加速度,n,a,第6章 运动学,61 运动学模型与参考系,62 质点的运动,63 刚体的简单（基本）运动,基点的选择对平动和转动的影响 平
13、面图形上各点的速度 平面图形上各点的加速度 刚体绕平行轴转动的合成,6.4 刚体的平面运动,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,平面运动 指刚体运动时，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变的运动。 基点 指固结在平面图形上的动坐标系的原点。,刚体平面运动的基本概念,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,刚体平面运动的分解,刚体的平面运动,随基点的平移运动,绕基点的转动,分解,图6.12 固结在平面图形上的坐标系的运动,第6章
14、运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,平面图形随不同基点的平移速度和加速度是不同的。,平面图形绕不同基点的转动角速度和角加速度是相同的。,基点的选择对平动和转动的影响,6.4.1 基点的选择对平动和转动的影响,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,不同基点的转动分析,(6.28),性质平面图形绕不同基点的转动角速度和角加速度是相同的。,如图，任取两基点A、B 运动至A、B，线段AB绕A 转过，绕B转过。,证明：,图6.13 不同基点图形的转角,
15、证毕,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,速度投影定理 平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相同。,6.4.2 平面图形上各点的速度,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,以A为基点用基点法，则,例 6.4 设图6.14中行星轮系轮I半径为r1， 轮II半径为r2，OA角速度为 ，求 II、vB 、 vC 。,图6.14 行星轮,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4
16、 刚体平面运动,例 6.5 设左图曲柄连杆机构中 OAr， AB r， 求当60时的vB和AB 。,由速度投影定理可得,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,寻找速度瞬心,图6.17 无滑动滚动的速度瞬心,接触点C为速度瞬心,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,图6.18 已知两点速度，求速度瞬心,寻找速度瞬心,第6章 运动学,6.1 运动学模型与参考系,6.2 质点的运动,6.3 刚体的简单（基本）运动,6.4 刚体平面运动,(a) (b) (c),例 6.6 设图中AB杆长l，B端铰接在半径为R的圆盘中心，已知A端速度为 ,求杆AB的角速度和其中点D的速度。,过A、B分别做速
