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1、喻勋良 主编,工 程 力 学,GONGCHENG LIXUE,第二章 力系,本章应知,本章应会,第一节 平面汇交力系,第 章,二 力系,在平面力系中，各力作用线相交于一点的称为平面汇交力系， 作用线相互平行的称为平面平行力系，作用线既不平行又不相交 于一点的称为平面任意力系。如图2-4所示,钢架的角撑图2-4板 受F1、F2、F3、F4四个力的作用，这些力的作用线位于同一平面 内并且汇交于点O，构成一个平面汇交力系。,一、几何法,用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交力系合成的几何法。,(2-1),图2-5,第一节 平面汇交力系,第 章,二 力系,合成中需要注意以下两点： 1）合力FR的作
2、用线必通过汇交点。 2）改变力系合成的顺序，只改变力多边形的形状，并不影响最后的结果。即不论如何合成，合力FR是唯一确定的。,力系平衡的充分必要要件是力系的合力等于零，即,(2-2),平面汇交力系的几何条件为: 各分力F1、F2、F3、Fn所构成的力多边形自行封闭。,第一节 平面汇交力系,第 章,二 力系,二、解析法,对于力F在坐标系Oxy坐标轴上的投影为 Fx=Fcos Fy=Fsin 平面力的解析表达式为 F=Fxi+Fyj,按照定义，平面汇交力系的合力FR等于各分力Fi的矢量和。即 FR=F1+F2+F3+Fn= 将合力写成解析式Fi=Fixi+iy j得到,FRx=F1x+F2x+Fn
3、x= FRy=F1y+F2y+Fny=,(2-4),上式表明：平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于 各分力在同一坐标轴上投影的代数和。,第一节 平面汇交力系,第 章,二 力系,合力的模和方向可用下列公式表示,FR= cos(FR，i)=Fx/FR cos(FR，j)=Fy /FR,(2-5),我们知道,平面汇交力系平衡的充分条件是力系的合力等于零。,(2-6),第二节 平面力偶系,第 章,二 力系,作用在同一个平面内的力偶，称为平面力偶。作用在同一个 物体上的n个力偶组成一个力偶系。作用在同一平面的力偶系叫 平面力偶系。 设（F1，F1）和（F2，F2）为作用在某一物体同一平面 内的两
4、个力偶，如图2-12所示，其力臂分别为d1、d2，于是有 M1=F1d1，M2=F2d2,图2-12,第二节 平面力偶系,第 章,二 力系,对于平面力偶系，设作用在同一平面内有n个力偶,由于各力偶矩矢量M1、M2、Mn成为共线矢量，求它们的矢量和就简化成为求代数和。这表明，对于平面力偶系问题，可将力偶矩作为代数量。这时，矢量方程成为代数方程 M=M1+M2+Mn=Mi (2-8),欲使平面力偶系平衡，充分必要条件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代数和等于零。,(2-9),第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,如果各力的作用线位于同一平面内并且互相平行，这样的力 系称为平面平行力系。平面平
5、行力系是平面一般力系的一种特殊 情况。,一、力的平移定理,设力F作用在刚体的A点，如图2-17所示，现在要把它平行移 动到刚体上的另一点B，为此在B点加上两个互相平衡的力F和F 令F=F=-F。显然增加一对平衡力系（F，F）并不改变原 力系对刚体的作用效应，即三个力F、F和F对刚体的作用与原 力F的作用等效。,图2-17,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,由于F和F视为一个力偶。因此，可以认为作用于A点的F，平行移动到B点后成为力F和一个附加力偶（F，F ），此力偶矩为 M=MB(F)=Fd （2-10） 式中d力F对B点的力臂，也是力偶（F，F）的力偶臂。,力的平移定理：作用在刚体上的
6、力可以向任意点平移，平移 后附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。 也就是说，平移前的一个力与平移后的一个力和附加力偶等效。,图2-17,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,可以得到以下几个性质： 1）当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。 2) 力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。 3) 力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,二 、一般力系向一点简化,应用力线平移
7、定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作 用线全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为 平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点 O的简化。点O称为简化中心。,平面汇交力系（F1, F2 , , Fn ） 可以合成为一个合力FR, 作用点为O。合力FR等于F1,F2, , Fn的矢量和， 即 FR=F1+F2+Fn=F1+F2+Fn= （2-11）,附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶， 这力偶的矩用MO表示， 称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。 MO=MO(F1)+O(F2)+MO(Fn)= （2-12）,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,从上面的
8、分析可知， 平面一般力系向其作用面内任意一点O 简化，可得一个作用在O点的力和一个作用在力系平面内的力偶。 这个力的矢量FR称为力系的主矢， 等于力系中各力的矢量和； 这个力偶的力偶矩MO称为力系对简化中心O的主矩， 等于力系中 各力对简化中心之矩的代数和。,结论： 1) 平面任意力系向平面内任一点的简化结果， 是一个作用在 简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。 2) 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 3) 平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此， 在 说到力系的主矩时， 一定要指明简化中心（在特殊情况下主矩与 简化中心无关）。,第三节 平面一般力系,第 章,二
9、力系,三、 平面一般力系的平衡方程,平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和力系对任一点O的主矩分别等于零。即,于是，平面一般力系平衡的充分必要条件可以叙述为：力系中各力在两个任意选择的直角坐标轴上的投影的代数和分别为零， 并且各力对任一点的矩的代数和也等于零。,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,二力矩形式的平衡方程是一个投影方程和二个力矩方程， 即任取两点A、B为矩心，另取一轴x为投影轴， 建立平衡方程。 Fi=0 MiA=0 MiB=0 （2-15）,其投影式（解析式）方程式为,其中，A、B两点的连线AB不能与x轴垂直。,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,三力矩形式的平衡
10、方程是任意取不在一直线的三点A、 B、 C为矩心而得到的平衡方程 MiA=0 iB=0 MiC=0,其解析式力矩方程式为,其中，A、B、C三点不能共线。,第三节 平面一般力系,第 章,二 力系,四、 平面平行力系的平衡方程,设物体受平面平行力系F1、 F2、 、 Fn的作用， 如图2-23所示。过任一点O取直角坐标系Oxy，并且使Oy轴与已知各力平行，则力系中各力在x轴上的投影分别为零，即Fix=0就成为恒等式，于是平面平行力系的独立平衡方程只有两个,平面平行力系平衡的充分必要条件是力系中各力的代数和等于零，以及各力对任一点的矩的代数和等于零。 平面平行力系的平衡方程也可以表示为两个力矩形式，
11、即,第四节 物体系统的平衡问题,第 章,二 力系,当物体系统平衡时， 组成该系统的每一个物体也平衡。因此，在求解物体系统的平衡问题时， 既可选整个系统作为研究对象， 也可以选单个物体或部分物体为研究对象。对每一个研究对象， 在一般情况下（平面任意力系）， 可以列出三个独立的平衡方程， 对于由n个物体组成的物体系统， 就可以列出3n个独立平衡方程，因而可以求解3n个未知量。,第五节 摩擦及有摩擦的平衡问题,第 章,二 力系,按照接触物体之间相对运动的情况分类， 摩擦可分为滑动摩 擦与滚动摩擦两类。,一、 滑动摩擦,1.滑动摩擦与摩擦定律,当两物体接触处沿着接触点的公切面有相对滑动或有相对滑 动趋
12、势时，彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简 称摩擦力。,静摩擦力的大小，由平衡条件决定，但必介于零与极限摩擦力的大小之间，如以FL表示极限摩擦力的大小，则静摩擦力F的大小的变化范围为 0FFL,第五节 摩擦及有摩擦的平衡问题,第 章,二 力系,极限摩擦力的大小与接触面之间的正压力（即法向反力）FN成正比，即 FL=fsFN 这就是通常所说的库伦摩擦定律。,物体间有相对滑动时的摩擦力称为动摩擦力。动摩擦力与法向反力也有与式FL=fsFN相同的近似关系：动摩擦力的大小与接触面之间的正压力（法向反力）成正比。如以F代表动摩擦力F的大小，则有 F=fFN,第五节 摩擦及有摩擦的平衡问题,第
13、章,二 力系,2.摩擦角与自锁现象,当有摩擦时，支承面对物体的约束力包括法向反力FN与摩擦力F， 这两个力的合力FR就是支承面对物体作用的全约束力。当摩擦力F达到极限摩擦力FL时，FN与FR所成的角m如图2-32所示称为静摩擦角，简称摩擦角。,图2-32,3.有摩擦的平衡分析,如何确定物体平衡位置或所受的力的范围？通常可以取物体的临界状态进行分析，来确定平衡位置或受力大小的边界值。这个过程，可称之为临界状态分析法。这时极限摩擦力的方向总与相对滑动趋势方向相反，不能任意假设。,第五节 摩擦及有摩擦的平衡问题,第 章,二 力系,二、滚动摩擦,摩擦不仅在物体滑动时存在， 当物体滚动时也存在。从经验
14、知道滚动比滑动更加省力。所以在工程实际中常用滚动代替滑动。,将分布力合成为一个力FR， 则FR的作用线也稍图2-38稍偏于轮子前方，再将FR沿水平与铅直两个方向分解，则水平方向的分力即摩擦力F，铅直方向的分力即法向反力FN。可见FN向轮子前方偏移了一小段距离d，使FN与W组成一个力偶，这个力偶就是滚动摩擦力偶。,图2-38,如用ML代表极限滚动摩擦力偶矩， 则 ML=FN,第六节 空间力系简介,第 章,二 力系,一、 空间任意力系向一点简化,设有空间任意力系F1、 F2、 Fn， 各力分别作用于A1、 A2、An各点， 如图2-39a所示。简化时可任取一点O作简化中心， 将各力平行移至O点，
15、并各附加一力偶， 于是得到一个作用于O点的汇交力系F1（等于F1 ）、 F2（等于F2）、 Fn（等于Fn）和一个附加力偶系，如图2-39b所示。,汇交力系F1、 F2、Fn可合成为一个力， 等于各力的矢量和，即FR,FR=F1+F2+Fn,图2-39,第六节 空间力系简介,第 章,二 力系,附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩M等于各附加力偶矩的矢量和，即M=M1+M2+Mn，亦即等于原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和,二、 空间任意力系的平衡,如果空间任意力系的主矢量及对于任意简化中心的主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。主矢量等于零，表明作用于简化中心的汇交力系成平衡；主矩等于零，表明附
16、加力偶系成平衡；两者都等于零，则原力系必成平衡。反之，如空间任意力系平衡，其主矢量与对于任一简化中心的主矩必分别等于零，否则该力系最后将简化为一个力或一个力偶。,第六节 空间力系简介,第 章,二 力系,因此，空间任意力系成平衡的必要与充分条件是力系的主矢量与力系对于任一点的主矩都等于零，即 FR=0 MO=0,上述条件可用代数方程表示为,这六个方程就是空间任意力系的平衡方程。它们表示：力系中所有的力在三个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零， 所有的力对于每一轴的矩的代数和等于零。,第七节 物体的重心,第 章,二 力系,重心的位置对于物体的平衡和运动都有很大关系。,一、物体的重心,物体的重力就是地球对它的吸引力。如果把物体视为由许多质点组成，由于
