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1、,工 程 力 学 简 明 教 程,制作与设计 高晓芳,第二篇,运动学基础,引 言,运动学是从几何的角度来研究物体的机械运动，即研究物体的位置随时间的变化，而不考虑物体运动变化的物理原因(即物体所受的力和物体的质量)。,运动：指物体在空间的位置随时间的变化,参考体：要描述物体位置以及它的运动,必须选取另一个物体作为参考,这个用作参考的物体称为参考体,参考系：在参考体上固结的坐标系称为参考系,点：指不计大小和质量，但在空间占有确定位置的几何点,刚体：指由无数点组成的不变形系统,时间间隔：对应于物体在不停顿的运动中从某一位置移动到另一位置所经历的时间,瞬时：时间间隔趋于零的一瞬间,第五章 运动学基础
2、,主要研究内容,51 点的运动学,点运动时，它在空间所走过的路 线，称为点的轨迹,轨迹为直线时，称该点作直线运动,轨迹为为曲线时称该点作曲线运动,51 点的运动学,用自然法求点的速度、加速度,自然法是以点的运动轨迹作为自然坐标轴来确定点的位置的方法,运动方程,S=f(t),点沿已知轨迹的运动方程，又称为弧坐标运动方程,51 点的运动学,点的速度,点的速度是描述点运动的快慢和方向的物理量。速度是矢量,如果v大于零，则瞬时速度指向轨迹的正方向,表明在该瞬时,点沿轨迹的正方向运动；反之，则指向轨迹的负方向,表明在该瞬时,点沿轨迹的负方向运动。,单位：m/s,51 点的运动学,点的加速度,加速度是表示
3、速度的大小和方向变化快慢的物理量。加速度也是矢量,用符号a表示,其单位为ms2,设一动点沿已知的轨迹做平面曲线运动，经时间t后,动点由M处运动到M 处，速度由v变成v，如图所示。此时动点速度矢量的改变量为v，在t内的平均加速度a*为,当t0时,令,切向加速度,法向加速度,51 点的运动学,切向加速度a,当dv/dtO时，切向加速度a指向自然轴的正向；反之,指向自然轴的负向。 切向加速度的正负号只说明了切向加速度矢量的方向，并不能说明动点是作加速运动还是作减速运动。 只有当dv/dt的正负与速度v的正负一致时,动点才是作加速运动；反之,动点作减速运动。,切向加速度反映的是动点速度值对时间的变化率
4、,它的代数值等于速度代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时闻的二阶导数，方向沿轨迹切线。,结论：,51 点的运动学,法向加速度an,迹曲线在点M处的弯曲程度。,结论： 法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向沿着法线，指向曲率中心。,51 点的运动学,动点的全加速度的大小和方向为,51 点的运动学,点运动的几种特殊情况,匀速直线运动 a=0,匀速曲线运动时 a= an,匀变速直线运动,匀变速曲线运动,51 点的运动学,例5-1 如图所示,点M沿轨迹OB运动,其中OA为一条直线，AB为四分之一圆弧。在已知轨迹上建立自然坐标轴,设点M的运动方程为s=t3-
5、2.5t2+t (s的单位为m，t的单位为s)，求t=1s、3s时,点的速度和加速度的大小，并图示其方向。,51 点的运动学,解 (1)求点M的位置,t=1s时点M在直线OA部分，设其位于M1点；t=3s时点M在曲线AB部分，设其位于M3点，如图,(2)求速度,方向均沿轨迹切线方向 ，如图,51 点的运动学,(3)求加速度,t=1s时，M在OA部分,t=3s时，M在AB部分,t=3s时点的全加速度,方向如图,51 点的运动学,51 点的运动学,解 (1)求点M的运动方程,在点M的运动轨迹上，以Mo为坐标原点、M点的运动方向为正方向建立自然坐标轴，如图所示。则点M的运动方程为,(2)求速度,=2
6、m/s,速度的方向沿轨迹的切线方向,指向轨迹正方向,如图,51 点的运动学,(3)求加速度,切向加速度为,法向加速度为,全加速度为,加速度方向如图,51 点的运动学,用直角坐标法求点的速度、加速度,点的运动轨迹为未知，则应采用直角坐标法。,运动方程,设点M在平面内作曲线运动,建立直角坐标系xoy（如图），则点M在任一瞬时的位置可由坐标x、y来确定。点的运动方程为：,点的轨迹方程,51 点的运动学,速度,动点的速度沿直角坐标轴的两个分量vx和vy分别等于坐标轴x轴和y轴对时间的一阶导数，即,速度,与x轴之间所夹的锐角， 的方向由 x和 y的正负号决定,51 点的运动学,加速度,动点的加速度沿直角
7、坐标轴的两个分量ax和ay的大小,等于其相应的速度分量的大小对时间的一阶导数，等于其相应的坐标对时间的二阶导数，即,加速度,51 点的运动学,例5-3 动点M的运动方程由下式给定 式中a，b，k均为常量。试求点M的运动轨迹、速度和加速度。,解：(1)从动点M的运动方程中消去t，可得M点的运动轨迹方程为,两式分别平方且相加得,故M点的运动轨迹为椭圆。,51 点的运动学,(2)求M点的速度和加速度,M点的速度为,M点的加速度为,51 点的运动学,例5-4 某歼击机飞行员做俯冲飞行训练时，若其飞行曲线AB近似一半径r=800m的圆弧，如图所示。己知在A点时的速度v0=400kmh，到达B点时的速度v
8、1=460kmh。所经历的时间t=3s。若飞机由A到B位置是匀加速度运动，试求飞机在B处时的全加速度。,51 点的运动学,解：因飞机做匀加速圆弧运动，则a=常数，且v=vo+at,飞机在B点处的全加速度为,52 刚体的基本运动,刚体的平行移动,刚体最简单的运动形式是平行移动和定轴转动。,刚体在运动过程中,其上任意一条直线总是与它的初始位置保持平行,这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。,刚体的平动可以用其上任一点的运动来代替，即刚体平动的运动学问题可以归结为点的运动学问题来研究。,直线平动,曲线平动,52 刚体的基本运动,刚体绕定轴转动,转动:刚体在运动过程中，其上有一条直线，始终固定不动，这
9、种运动称为刚体绕定轴转动，简称转动。,转轴:位置保持不变的直线称为转轴。,实例:工程中齿轮、带轮、飞轮的转动，电动机转子、机床主轴、转动轴的转动等。,52 刚体的基本运动,转动方程,半平面过转轴z且固连在刚体上，初始半平面I、共面。,刚体的转动方程,转角是代数量，规定逆转轴的正向看，逆时针转向的转角为正，反之为负。 转角的单位是rad。,反映刚体转动的规律。,52 刚体的基本运动,角速度,角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量。,当 0时，刚体逆时针转动，反之则顺时针转动 单位：rad/s,转速：每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速，用符号n表示，单位：r/min,转速n与角速度的
10、关系,52 刚体的基本运动,角加速度,角加速度是表示角速度变化快慢的物理量，其单位为rads2,与同号表示刚体作加速转动，与异号表示刚体作减速转动。,52 刚体的基本运动,定轴转动刚体上点的速度和加速度,速度,图示,一刚体绕轴O作定轴转动, 设初始时刻t=0时,点M的位置为M。，经时间t后，刚体转过转度 ，点M到达图示位置。建立如图自然坐标轴，则,用自然法求得点M的速度为,结论：刚体作定轴转动时，其上任意一点速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线方向 (垂直于转动半径)，指向与角速度的转向一致。,52 刚体的基本运动,刚体作定轴转动时,其上各点的速度与其到转轴的距离
11、成正比。 刚体上各点的速度分布规律如图所示,圆周速度：工程中，有很多作定轴转动的物体，如齿轮、车削的工件等，其圆周上点的速度称为圆周速度。则圆周速度的计算公式为,或,式中，直径的单位是D，转速的单位是r/min。,从图中得到,点到转轴的距离越远，速度越大；点到转轴的距离越近，速度越小；点在转轴上，速度为零； 所有到转轴距离相等的点，其速度大小相等。,52 刚体的基本运动,加速度,刚体作定轴转动时，其上任意一点M的运动轨迹为圆周。,切向加速度,法向加速度,方向沿轨迹的切线方向(垂直于转动半径)，指向与角加速度转向一致,方向沿轨迹的法线方向，指向转动中心,全加速度,52 刚体的基本运动,刚体作定轴
12、转动时,其上各点 (转轴除外)具有相同的转动方程，在同一瞬时具有相同的角速度、相同的角加速度；但各点的速度不同、加速度也不同，其值随点到转轴距离的变化而变化。,刚体作定轴转动与点作直线运动的基本公式 比较：,52 刚体的基本运动,例5-5 曲柄导杆机构如图所示，曲柄OA固定轴O转动，通过滑块A带动导杆BC在水平槽内作直线往复运动。已知OA=r，=t （ 为常量），求导杆在任一瞬时的速度和加速度。,52 刚体的基本运动,解 由于导杆在水平直线导槽内运动，所以其上任一直线始终与它的最初位置相平行，且其上各点的轨迹均为直线。因此，导杆作直线平动。导杆的运动可以用其上任一点的运动来表示。选取导杆上M点
13、进行分析，M点沿x轴作直线运动，其运动方程为,52 刚体的基本运动,52 刚体的基本运动,解：由题意分析可知，曲柄O1A、O2B作定轴转动，连杆AB作平动，故点M的速度、加速度即为点A的速度、加速度,(1)求曲柄O1A的角速度、角加速度,即曲柄O1A作匀速转动,(2)求点A的速度和加速度,点M的速度和加速度,方向如图,52 刚体的基本运动,例5-7 发动机正常工作时其转子作匀速转动,已知转子的转速n。=1200rmin，在制动后作匀减速转动，从开始制动到停止转动转子共转过80圈。求发动机制动过程所需要的时间。,解 制动开始时，转子的角速度为,制动结束时，转子的角速度0=O,在制动过程中，转子转过的转角为,匀减速转动时角加速度为,制动时间为,
