《工程力学基础 教学课件 ppt 作者 徐博侯 第7章 牛顿动力学方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学基础 教学课件 ppt 作者 徐博侯 第7章 牛顿动力学方程（103页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、质点运动的微分方程 质点相对运动的微分方程 质点动力学的两类基本问题,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,牛顿三大定律,或,第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。 第二定律 第三定律 两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一作用线，分别同时作用在这两个物体上。,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,直角坐标形式 自然坐标形式 柱坐标形式,(7.3),(7.4),(7.5),7.1.1 质点运动的微分方程,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,(7.6)
2、,(7.7),(7.8),由于牛顿第二定律在定系（惯性系）中才能成立,令：,为牵连惯性力,为科氏力,则质点在动系中相对运动的微分方程为,7.1.2 质点相对运动的微分方程,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,已知质点运动，求作用在质点上的力,已知作用在质点上的力，求质点的运动,7.1.3 质点动力学的两类基本问题,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,图7.1 摆绳的拉力,例 7.1 如图7.1所示（绳重不计），当小球在铅垂面内摆动时，最低处时速度为v; 最高处时，绳和铅垂线夹角为 求小球在最低处和最高处时绳的拉力F1和F2。,当小球在最低处时,当小球在最高处时,
3、第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,图7.2 振动输送台,例 7.2 如图7.2所示，输送台面在铅垂方向的运动为 y=bsint。求物料开始与台面分离而向上抛起的最小频率f 。,1.以物料为研究对象，当未分离时,2.当y=max(=b)时，FN=min，此时,3.当分离时，FNmin 0，从而,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,图7.3 行星运动轨迹,例 7.3 如图7.3所示，求行星M 绕太阳S 的轨迹。,设两者距离为r，引力常数f ，太阳和行星的质量分别为 , 中心距离为r, 则,用极坐标研究行星运动，则由式(7.5),第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点
4、动力学基本定律,图7.3 行星运动轨迹,(c),(d),由式(b)可得,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,图7.3 行星运动轨迹,将式(c)、(d)代入式(a)得,解得,(e),(f),取 ，则,式中e、都是积分常数,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,图7.4 水平放置的环形管内小球运动,例 7.4 内壁光滑的环形管，在水平面内以匀角速度绕铅垂轴A转动，质量为m的小球M在管内运动。初始时小球在C点处,相对速度为零。建立运动微分方程，并求管壁侧面作用在小球上的力，证明小球运动范围为 .,解选环形管为动系，按极坐标分解，则,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动
5、力学基本定律,图7.4 水平放置的环形管内小球运动,对式(d)积分，且 =90时 , 可得：,(e),(f),第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,动量定理 变质量体问题 质心的运动,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,7.2 质点系的动量定理,质点的动量 质点系的动量 质点系的动量定理,(7.9),(7.10),(7.11),7.2.1 动量定理,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,动量定理的积分形式 冲量矢量形式 冲量分量形式,(7.13),(7.14),第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动
6、力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,图7.5 弯管流动的动压力,例 7.5 图中流体是不可压缩、稳定的，流体密度和流量q为常量，求流体对管壁的作用力。,a) 外力分析： 流体的重力 管壁的反力FN 进口截面压力F1 出口截面压力F2,b) 动量变化,解,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,图7.5 弯管流动的动压力,c) 设进口和出口截面速度v1、v2 ，,d) 管壁反力 分成 和 两部分,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,例 7.6 如图7.6所示，物体A可沿光滑水平面滑动，细杆与物体铰接。初始时系统静
7、止，释放后以=0coskt 规律摆动（k为常量）。求物块A的最大速度。,质点系水平动量 px=0, 即,解设B相对于A的水平速度为 , 则,(a),(b),图7.6 摆杆,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,当 时得到最大的vA ，即,(a),(b),图7.6 摆杆,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,在时刻t, m的速度为 v ,m的速度为u,在t+ t时刻,两质点的共同速度为v+ v,由式(7.13)可知 略去高阶小量mv ，两边除以t，并令t - 0可得 由于u- v =vr是质量m相对于质量m的相对速度
8、，所以上式可以写成,(7.15),是作用在变质量体上的外力主矢,7.2.2 变质量体问题,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,图7.7 火箭垂直向上飞行,例 7.7 如图7.7所示，设火箭垂直向上飞行，初速度v0，初始质量m0，经时间后燃料烧完此时火箭质量为m1。不计空气阻力，求这时火箭的速度。,此时运动方程为（向上分量）,两边积分,解得,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,即质心运动定理： 质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的主矢。,(7.17),(7.16),7.2.3 质心的运动,根据
9、求质心的公式 对上式求导并假定每个质量 不变，有 由动量定理可得,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,图7.8 框架单摆,例 7.8 图7.7所示框架置于光滑水平面上，质量为 ,单摆长为l，质量为 在摆角为0时静止释放。求单摆摆角为零时，框架的位移。,a) 以框架和单摆作为研究的质点系有,b) 设x1为框架的质心坐标，则,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,图7.8 框架单摆,d) 解得0时框架得水平位移为,c) 设t=t1时0，则,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.2 质点系的动量定理,
10、质点系的动量矩 质点和质点系的动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,7.3 质点系的动量矩定理,质点系的动量矩（或角动量）LO 质点系动量矩的分量形式,7.3.1 质点系的动量矩,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,刚体运动的动量矩,刚体运动的动量矩 平移刚体对O点的动量矩（=0,v= ） 定轴转动刚体对O点的动量矩（vO=0,=k,O=O）,Jxz、Jyz称为惯量积,Jz称为（对轴z的）转动惯量,第7章 牛顿动力学方程
11、,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,简单形状物体的转动惯量,图7.9 均质细直杆,（1）均质细直杆对z轴的转动惯量 (单位长的质量为, m=l为杆的质量）,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,图7.10 均质薄圆盘,（2）均质薄圆盘对中心轴的转动惯量 （面密度为）,取极坐标系 计算,为圆盘质量,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,（3）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 （面密度为，内外半径为R1、R2）,为圆环质
12、量,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,平行轴定理,平行轴定理 刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即：,(7.25),第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,质点的动量矩定理（矢量方程） 质点的动量矩定理（标量方程）,7.3.2 质点的动量矩定理,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,质点系的动量矩定理（矢量方程） 质
13、点系的动量矩定理（标量方程）,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,质点系的动量矩守恒定理 如果外力系向定点O简化的主矩等于零，即 ，则质点系的动量矩是守恒的； 如果对某定轴的力矩为零，则质点系对该轴的动量矩是守恒的。,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,图7.11 单摆,例 7.9 利用质点的动量矩定理研究单摆的微摆动规律。,取摆锤为研究对象，则,由质点动量系定理得,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质
14、点系的动量定理,图7.11 单摆,其中 和 由初始条件决定,当摆角很小时， ，则,单摆摆动周期为,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,例 7.10在图示调速器中，小球A、B视为质点，质量均为m,各杆质量不计。设各杆铅垂时，系统的角速度为o，求当各杆与铅垂线成角时，系统的角速度 。,系统所受外力对z轴之矩全为零，则,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,a) OA、OB夹角/3 ，,图7.5 例7.11图,例 7.11 质量为m、2m的质点A、B由长R的刚性杆
15、连接，可在半径为R的光滑圆弧轨道上滑动。设OA与水平线夹角初始时 ,且静止。求系统的运动微分方程和当质点A、B 运动到同一水平位置时的速度。,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,b) 由质点的动量矩定理得,c) 化简得运动微分方程,图7.5 例7.11图,d) 对运动微分方程积分,当AB水平，即/3时,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,刚体绕定轴转动的微分方程为,Mz(F)为所有外力对z 轴的力矩之和,图7.14 刚体绕定轴转动,7.3.3 刚体绕定轴转动的微分方程,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,刚体动力学的两类问题,转动 规律 (t),外力 矩,已知转动规律，求作用于 刚体上的外力矩,已知外力矩，求刚体的 转动规律,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,两类种基本方程的比较,第7章 牛顿动力学方程,7.1 质点动力学基本定律,7.3 质点系的动量矩定理,7.2 质点系的动量定理,图7.15 例7.12图（摩擦制动）,例 7.12 图示圆柱
