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1、B3 流体运动学,B3.1 流动的数学描述,B3 流体运动学,研究流体运动的一般规律，不涉及力的作用。为学习流体动力学作准备。,B3.1.1 欧拉法与拉格朗日法,一拉格朗日法（随体法）,研究候鸟运动规律两种方法：欧拉法、拉格朗日法,1、对流体质点运动的描述,时质点在坐标 处，矢径随时间变化为,质点加速度为,称为拉格朗日坐标。一般物理量的表达式为,对 的时间导数称为质点的随体导数，简称为质点导数。如对矢径的质点导数是质点速度,二欧拉法（当地法）,因流体的易变形性，流体力学很少采用拉格朗日方法，但拉格朗日观点仍是重要的。,在欧拉坐标系中描述物理量的空间分布：,可用连续函数理论和场论知识等数学工具分
2、析和计算流场，是流体力学数学解析法中最常用的方法。,例B3.1.1 由轨迹方程求速度场,代入轨迹方程可得速度表达式,解得拉格朗日参数与欧拉参数的关系式,已知质点轨迹方程,按速度定义,B3.1.2 质点导数,用求全导数的方法求质点a的加速度,1、加速度场,质点a的速度表达式为,上述分析适用于任何质点，取消脚标可得到用欧拉变数表示加速度（速度的质点导数）一般式,用算子表示任意物理量B的质点导数,称为物理量B的当地变化率;,加速度场为,用场论算子符号 表示,定常流场的当地加速度为零,均匀流场的迁移加速度为零,管道流动中加速度为,例B3.1.3B 收缩管:迁移加速度,已知 , ，,求,解：管道迁移加速
3、度为,截面积的函数表达式为,任一截面上的平均速度和加速度表达式为,（1）出入口平均速度分别为,（2）出入口加速度分别为,讨论(1)管道收缩引起的迁移加速度沿轴线变化。 （2）进出口管径比3:1，速度比1:9，加速度比1:243 （3）流体加速运动必对管壁产生冲击力。,B3.1.3 控制体与雷诺输运公式,流场中人为选定的空间区域为控制体(CV),一控制体概念,二雷诺输运公式,控制体可以是假想的（a),或实际存在的（b) 。,控制体广延量是指刚好重合的流体系统广延量。,实线区域为控制体，表面为控制面CS。一流体系统在时刻 与控制体重合，在时刻 变形为虚线区域 。,输运公式为,设 为物理量分布函数，
4、系统广延量和控制体广延量分别为,为系统导数； 称为系统广延量的当地变化率； 称为系统广延量的迁移变化率。,流场定常时,B3.1.4 曲面流量,曲面上面积元的微分流量为,对一封闭曲面,当 ,代表流出；,当 ,代表流出。,曲面A的流量为,上式代表净流出封闭曲面的流量。,曲面上的平均速度为,曲面上的质量流量为,对不可压缩流体,上式常用于工程管道的横截面上 。,例B3.1.4 粘性流体圆管流动,已知直圆管内两种速度分布,解（1）抛物线速度分布的流量,求流量Q和平均速度V 的表达式。,1/7次幂速度分布的流量,（2）抛物线和1/7次幂速度分布的平均速度,说明抛物线速度分布的平均速度为最大速度的一半； 1
5、 / 7次幂速度分布在中部比较均匀。,认识流体流动的特性一般从定常流动入手。,B3.2 流动的分类,B3.2.1 定常与不定常流动,1、定常流动：流动参数不随时间变化，仅由空间位置决定 。,2、不定常流动：流动参数与时间有关,可分为：谐波脉动流、非谐波脉动流、随机脉动流（湍流）等类型。,2、坐标系与物体一起运动时化为定常流场。,照片：,1、物体在静止流体中运动时的不定常流场；,坐标系转换示意图：,在风洞、水洞和水槽实验中将模型固定在洞壁上，让空气和水流过模型进行模拟实验测试。,水流流过固定翼型,平板在静水中运动,B3.2.2 三维、二维与一维流动,举例：平面机翼、二维明渠流。,一维流动：速度矢
6、量可简化为1个分量，且每个分量仅为1个坐标的函数。,三维流动：速度矢量必需表示成3个空间坐标的函数；,二维流动：速度矢量可简化为2个分量，且每个分量仅为2个坐标的函数；,举例：直圆管流 、一维明渠流 。,举例：有限长机翼绕流。,例B3.2.2 圆管流动动能与动量修正因子,用平均速度计算流体的动能和动量时应加修正因子。,解：动能修正因子计算式,抛物线速度分布,1/7次幂速度分布,解：动量修正因子计算式,抛物线速度分布,1/7次幂速度分布,讨论：计算表明1/7次幂速度分布的动能和动量修正因子接近于1。用平均速度计算时可取 。,B3.3 流动的几何描述,迹线可直接观察到；多条迹线可通过同一点。,速度
7、廓线：截面或曲面上速度矢量端部的包络线。,B3.3.1 速度廓线与剖面,二维速度廓线又称为速度剖面。,B3.3.2 迹线,迹线：质点的轨迹线 。,迹线的欧拉表示式：,B3.3.3 流线,流线：假想的瞬时矢量线，每点切线方向与速度方向一致。,数学表示式为,或,t是参数， 是欧拉坐标变量。,定常流场中流线与迹线重合，在不定常流场不重合；流线不能相交。,一阶常微分方程的解为,例B3.3.3 不定常流场的迹线与流线,已知速度场 ，t = 0时质点M位于(1,1)点。,求(1) 迹线方程；(2)t = 0时过(1,1)点的流线方程；(3)t = 1时质点M的运动方向。,解:(1)迹线微分方程为,迹线是图
8、中的实线。,由初始和边界条件确定 ，代入原式得迹线参数式 ，消去t 可得,(2)流线微分方程为,积分可得,t = 0时通过点(1,1)，可得,流线方程为,流线是图中的虚线，与迹线相切于A点。,讨论(1)流线与迹线不重合。(2)因流场不定常性，不同时刻通过某点的流线不同；因流场不均匀性，同一时刻通过不同点的流线也不同。（3）利用迹线和流线方程可判断任意时刻质点的位置和运动方向。,(3)t =1时由迹线参数式方程可确定质点走到B点 。,代入流线方程得 ,流线方程为,流线是图中的点划线，与迹线相切于B点。质点向右上方运动。,脉线：某瞬时将在之前某时段内相继通过一点的质点连成的线。,在流场某点连续释放
9、示踪剂，用相机拍摄下示踪剂的脉络线就是脉线。,上图为圆柱绕流的尾流涡状脉线；下图是弯管内螺旋形脉线。,脉线也称染色线、烟线或条纹线。脉线是常用的流场显示方法。,B3.3.4 脉线,在定常流中脉线与流线、迹线重合，在不定常流中三者不重合。,B3.3.5 流管、流束与总流,缓变流：流线相互平行或基本平行的流动。否则称为急变流。,总流：指定界面包围的流束。如管道内和渠道内的流体总体。,流管：由非流线的封闭曲线上每一点的流线所围成的管状面。,流束：流管内的流体。流束内处处与流线垂直的截面称为有效截面。,微元流束：有效截面为无限小的流束。,B3.4 流体元的变形与旋转,B3.4.1 线应变率,在 内面元
10、在x方向伸长度为 ,瞬时相对伸长率（线应变率）为,在 方向线应变率为,若 ，面元的面积将同时向两个方向扩张。,面元面积的相对扩张速率（简称面积扩张率）为,三维流场中的体积膨胀率为,当 时，表示任一点领域流体的面积扩张率或体积膨胀率为零，这种流动称为不可压缩流动。,称为速度散度。,例B3.4.1 90角域流,已知,求(1)流线;(2)流体元线应变率和面积扩张率;(3) 后 四点的位置。,解(1)流线微分方程,积分得流线表达式为 ，为图中双曲线。,(2)线应变率为,说明x方向线元伸长，y方向线元以相同速率缩短。,面积扩张率为,(3)设 质点位于 ， 位于 。由迹线方程,由 可得 。 移到 ，流体元
11、由正方形变成扁矩形。,B3.4.2 角变形率,一点邻域内流体的角变形速率定义为,简称为切变率。,速度分量v 沿x 轴，u 沿y 轴分别存在梯度，在 内MA、MB的转角为,同理,切变率的另一种定义：取角变形速率的平均值,B3.4.3 旋转角速度,线元的旋转角速度分别为,流体元绕z 轴的旋转角速度定义为,绕x轴和y轴的旋转角速度分别为,一点领域的角速度矢量为,根据涡量（或角速度）是否为零可将流动分为有旋流动和无旋流动。,一点领域的涡量定义为,例B3.4.3 平板剪切流,试分析流场的运动学特性。,已知 （k为常数）,解(1)速度剖面如图示。,(2)流线微分方程为,积分可得流线方程为 ，为平行于x 轴
12、的直线族。,(3)切变率为,(4)面积扩张率为,讨论(1) 沿流向正方形流体元变为平行四边形。越到下游平行四边形变得越狭长，但面积保持常值。,(5)角变形率,(6)角速度,(2)流线就是涡线 。涡量场导致速度沿y方向的线性增加。,(3)直接从速度分布式，可计算流场中任意流体元的切应率、角应变率和角速度等所有运动学信息。,(2)流体元只是一个模型，最终必需取线尺度趋于零的极限值（时间上取瞬时值），称为一点领域的切变率和角速度。,小结,(1)由于流体的易变形性，流体的变形和旋转均以流体质点为中心。,(3)流体运动学特性由一点邻域内的速度分布决定，可以逐点不同，因此具有空间分布特征。,(4)流体的变形和旋转运动与固体的变形和刚体的旋转运动有本质区别。,谢谢！,
