工程流体力学 教学课件 ppt 作者 闻建龙 第八章　粘性流体动力学基础

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1、第八章 粘性流体动力学基础,流体微团的运动形式与速度分解定理 粘性流体的应力状态 广义牛顿内摩擦定理（本构关系） Navier-Stokes方程 粘性流体运动的能量方程 粘性流体运动的基本性质 粘性流体运动方程组的封闭 边界层近似及其特征 平面不可压缩流体层流边界层方程 平板层流边界层的相似解 边界层的分离现象,1、流体微团运动的基本形式 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运 动（线变形和角变形运动）。,流体微团的运动形式与速度分解定理,平动,转动,线变形,角变形,2、速度分解定理 德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流 场速度的分解定理

2、，正确区分了流体微团的运动形式。设在 流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。 在 速度为 在 点处，速度为,以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有 将上式分别加、减下列两项 得到,如果令： 综合起来，有,对于y,z方向的速度分量，也可得到 写成矢量形式 其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形引起的。,定义如下： 流体微团平动速度： 流体微团线变形速度： 流体微团角变形速度（剪切变形速度）： 流体微团旋转角速度：,3、有旋运动与无旋运动 流体质点的涡量定义为 表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋 流动与有旋运动。

3、 4、变形率矩阵（或变形率张量） 在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称 为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关 系。,定义，流体微团的变形率矩阵为 该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有 三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是：,对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度， 或流体微团的相对体积膨胀率。 如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的 非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为,粘性流体的应力状态,1、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和

4、剪力，不具 有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在 相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面 上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有 抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也 有切向力。,2、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表 面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此， 作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果 作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂 直于作用

5、面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于 另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。,由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向 表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应 力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为,如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任 意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐 标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的 矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量 中，只有六个是独立的，其中三法

6、向应力和三个切向应力。这个应力矩 阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。,（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即 （2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即 （3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。,广义牛顿内摩擦定理（本构关系）,1、牛顿内摩擦定理启发 牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的 切应力与速度梯度成正比。即 如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有 说明应力矩阵与变形率矩阵 成正比。对于一般的三维流动， Stokes（1845年）通过引入三条假定

7、，将牛顿内摩擦定律进行推广， 提出广义牛顿内摩擦定理。,2、Stokes假设（1845年） (Stokes，英国数学家、力学家，1819-1903年） （1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体 的平动和转动无关。 （2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位 置无关。 （3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。 由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力， 无切应力。即,因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率 矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。 式中，系数a、b是与坐

8、标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理， 系数a只取决于流体的物理性质，可取,由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持 应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形 率矩阵中的那些线性不变量构成。即令 式中， 为待定系数。将a、b代入，有 取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出,归并同类项，得到 在静止状态下，速度的散度为零，且有 于是，有 由于b1和b2均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下 均成立，则 然后代入第一式中，有,如果令 称为流体压强。则本构关系为 上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。 用指标形式，上式可表示为,对于不可压缩流体,有 如果

9、用坐标系表示，有 粘性切应力： 法向应力：,Navier-Stokes方程,1、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分 方程。(在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x 方向为例，建立运动方程）。,整理后，得到 这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应 于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已 知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本 构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。,2、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组） 人类对流体运动的描述历史是： 1500年以前Da Vinci

10、（1452-1519，意大利科学家）定性。 1755年Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体 运动方程。 1822年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑粘性 1829年Poisson(1781-1846)、1843年Saint Venant（1795- 1886)、1845年Stokes(1819-1903，英国科学家)结束，完成了 推导过程，提出现在形式的粘性流体运动方程。 （历时90年）,以x方向的方程为例，给出推导。 引入广义牛顿内摩擦定理，即 代入得到,对于y和z方向的方程为 这就是描述粘性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩流 体。,写

11、成张量的形式为 对于不可缩流体， ，且粘性系数近似看作常数，方程组可得 到简化。仍以x向方程进行说明。,由此可得到 张量形式 矢量形式,为了研究流体的有旋性，Lamb等将速度的随体导数加以 分解，把涡量分离出来，形成如下形式的Lamb型方程。,3、 Bernoulli积分 伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古拉斯伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利数学家族第一代。 Bernoulli, Johann（约翰伯努利），1667-1748，伯努利数 学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli, Danie

12、l（丹尼尔伯努利），1700-1782，伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有流体动力学（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。,与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程假定： （1）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（3）质量力有势；（4）沿 流线积分。沿流线积分N-S方程，可推导出粘性流体的能量方程。与理想流 体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起的损失项，表示流体质点克 服粘性应力所消耗的能量。 在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上 某处取一微段ds，该处所对应的流速为,沿流线积分N-S方程，有 在定常流情况下

13、，迹线和流线重合。,流线微段与速度之间的关系为,质量力有势，因此有 不可压缩定常流动，有 粘性项写成为 在流线微段上，微分形式为,与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。 对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为 方程两边同除以g，得到 表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。,如果令 能量方程变为 单位重量流体所具有的机械能为 ；单位重量流体粘 性力所做的功为 。沿着同一条流线积分，得到,上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位

14、重量流体的 所具有的机械能总是沿程减小的，不能保持守恒（理想流体时， 总机械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体 质点克服粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体Bernoulli 积分方程说明，粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何 转化，但总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机 械能低的地方。,粘性流体运动的能量方程,1、热力学第一定理 能量方程是热力学第一定理在运动流体中的表现形式。 热力学第一定理表示：单位时间内作用于系统上所有力对系 统所做的功与单位时间内输入系统的热量之和等于系统总能 量的变化率。即 其中，Q为单位时间输入系统的总热量，包括热辐射和热传 导

15、；W为单位时间作用于系统上所有力对系统所做的功。作 用力包括表面力和体积力。,2、能量方程推导 在粘性流体空间中，任取一个微分平行六面体的流体微团作为系统，六面体为控制体，则该系统单位时间内总能量的变化率应等于单位时间作用于系统上所有作用力的功与外界传给系统的热量之和。用e表示单位质量流体所具有的内能，那么单位质量流体所具有的总能量（内能+动能）为 单位时间内，微元流体系统总能量的变化率为,作用系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和系统上 的质量力。单位时间内，所有作用力对系统所做的功为： 质量力功率： x方向表面力的功率：,同理可得，y和z方向的功率为 总功率为,单位时间内，外界传

16、给系统的总热量Q包括热辐射和热传导。令q 表示单位时间因热辐射传给单位质量流体的热量，总的辐射热量为 由Fourier定理可得，通过控制面传给系统的热量。对于x方向， 单位时间通过控制面传入系统的热量为,同理可得，y和z方向的热传导量。 单位时间内，总的热传导量为 将以上各式代入,整理得到 该方程为能量方程的微分形式。写成张量形式为,另外，如果用ui乘以运动方程，有 代入能量方程，得到另一种形式的能量方程。,上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变化率等 于流体变形时表面力作功与外部传入热量之和。其中，表面力作功包括 压力作功和剪切力作功，压力作功表示流体变形时法向力作膨胀功，剪 切力作功表示流体运动是克服摩擦力作功，这部分是由于流体粘性引起 的，将流体部分机械能不可逆转化为热能而消耗掉。 利用广义牛顿内摩擦定理，可得 其中， 为耗散函数。,这样，能量方程也可写成为 说明，单位体积流体内能的变化率等于法向力作功、外加 热量以及由于粘性而消耗的机械能之和。由连续方程，有,代入能量方程中，得到 对于不可压缩