工程应用数学 第2版 教学课件 ppt 作者 万金保 9-1

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1、1,工程应用数学 第9章 多元微积分,2,工程技术等应用问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映在数学上就要求我们讨论这样的函数因变量依赖于多个自变量的函数多元函数本章主要内容为：多元函数微分学，二重积分、曲线积分及曲面积分,第9章 多元微积分,3,9.1 多元函数与偏导数,9.1 多元函数与偏导数,9.1.1 多元函数的概念 引例1 三角形的面积S和它的底边长b以及底 边长上的高h之间有关系式,4,9.1 多元函数与偏导数,引例2 圆柱体的体积V和它的底半径r，高h 之间具有关系式 引例3 一根截面为矩形的梁，其抗弯截面模 量W与截面的高h及宽b之间的关系为,5,9.1 多元函数与偏导数,引例2

2、 圆柱体的体积V和它的底半径r，高h 之间具有关系式 引例3 一根截面为矩形的梁，其抗弯截面模 量W与截面的高h及宽b之间的关系为,6,9.1 多元函数与偏导数,定义9-1 设有三个变量x,y及z如果当变量x 和y在一定变化范围取定一对数值时，如果变 量z按照一定的法则f总有确定的数值与它们对 应，则称z是x,y的二元函数，记为z=f(x,y) 其中x,y称为自变量，z称为因变量自变量 x,y的取值范围称为函数的定义域,7,9.1 多元函数与偏导数,9.1.2 二元函数的定义 例9-2 求下列函数的定义域，并画出图形,解：,8,9.1 多元函数与偏导数,解：,9,9.1 多元函数与偏导数,9.

3、1.3 二元函数的几何意义 当函数f(x,y)的自变量x,y在其定义域D内 变化时，其对应的函数值z与自变量x,y一起 构成空间内一动点(x,y,z)，其轨迹形成一张 曲面，称之为二元函数z=f(x,y)的图形 定义域D就是曲面在平面的投影,10,9.1 多元函数与偏导数,9.1.4 二元函数的极限 定义9-2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)附近有 定义（点P0可除外），当点P(x,y)无限接近 P0(x0,y0)时，对应的函数值无限接近某个确 定的常数A，我们就说A是函数z=f(x,y) 当 xx0,yy0时的极限，记为,11,9.1 多元函数与偏导数,例9-3 求极限,解：

4、令u = x2+y2，当x0,y0时，u0,12,9.1 多元函数与偏导数,例9-4考察函数,当(x,y)(0,0)时的极限是否存在 解：当点(x,y)沿直线y=kx(k0)趋向于原点,有,显然它随着k的值的不同而改变的,故极限不存在,13,9.1 多元函数与偏导数,9.1.5 二元函数的连续性 9.1.5.1 二元函数的连续性 定义9-3 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)附近有 定义，如果当点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时， 函数z=f(x,y)的极限存在，且等于它在点P0处 的函数值即 则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,14,9.1 多元函数与偏导

5、数,如果函数在区域D内各点都连续，则称函 数在区域D内连续 9.1.5.2 有界闭区域上连续函数的性质 最大值、最小值定理 在有界闭区域上连续 的二元函数在该区域上一定能取到最大值和最 小值 介值定理 在有界闭区域上连续的二元函数 能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值 至少一次,15,9.1 多元函数与偏导数,9.1.6 偏导数 9.1.6.1 偏导数的定义 定义9-4 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的附近有 定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时， 相应地函数有增量 f(x0+x,y0)-f(x0,y0) 如果,存在,16,9.1 多元函数与偏导数,则称此极限为函数z=f(

6、x,y)在点(x0,y0)处对x的 一阶偏导数（简称偏导数），记作,即,17,9.1 多元函数与偏导数,类似地，函数在点处对的偏导数定义为,记作,18,9.1 多元函数与偏导数,如果f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导 数都存在，那末这个偏导数是x,y的函数，此 函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数， 记作 类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏 导函数，记作,19,9.1 多元函数与偏导数,对二元及多元函数也有类似的二阶及高阶 偏导数如,若二阶混合 偏导数连续, 则,20,9.1 多元函数与偏导数,9.1.6.2 偏导数的求法 由偏导数的定义可以看出,对

7、某一个变量求偏 导,就是将其余变量看作常数,而对该变量求导 例9-5 求函数z=x2-3xy+2y3在点(2,1)处的两 个偏导数 解：,21,9.1 多元函数与偏导数,例9-6 求函数z=x2sin2y的一阶和二阶偏导数 解：,22,9.1 多元函数与偏导数,例9-7 设z=xy(x0)，求证 证明：,23,9.1 多元函数与偏导数,9.1.7 全微分 定义9-5 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 z=f(x+x,y+y)-f(x,y) 可表示为 z=Ax+By+o() 其中A、B与x、y无关， 则称Ax+By为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分，记作dy，即dz =

8、 Ax+By,24,9.1 多元函数与偏导数,定理9-1 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微， 则函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 定理9-2 （可微的必要条件）如果函数 z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=f(x,y)在 点(x,y)处的偏导数 、 存在，而且,25,9.1 多元函数与偏导数,即 规定x=dx,y=dy则,26,9.1 多元函数与偏导数,定理9-3 设P(x,y)，Q(x,y)具有一阶连续偏 导数，则存在某一函数u(x,y)，使得 du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy 的充分必要条件是,27,9.1 多元函数与偏导数,例9-8 计算函

9、数z=x2y+y2的全微分 解 因为 所以,28,9.1 多元函数与偏导数,例9-9 计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分 解 因为 所以,29,9.1 多元函数与偏导数,9.1.8 偏导数的应用 9.1.8.1 极大值与极小值 定义9-6 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻 域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点 (x,y)都有 f(x,y)f(x0,y0) 则称f (x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值) . 极大值、极小值统称为极值使函数取 得极值的点称为极值点,30,9.1 多元函数与偏导数,例9-10 函数z=3x2+y2在点(0,0)处有极小

10、 值因为对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0) 的点，函数值都为正，而在点(0,0)处的函数 值为零从几何上看这是显然的，因为点 (0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z=3x2+y2的 顶点,31,9.1 多元函数与偏导数,例 9-11 函数 在点处有极大值. 因为在点(0,0)处函数值为零，而对于点(0,0) 的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为 负点(0,0,0)是位于平面xOy下方的锥面 的顶点,32,9.1 多元函数与偏导数,定理9-4（必要条件） 设函数z=f(x,y)在点 (x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值， 则它在该点的偏导数必然为零：,33,9.1

11、 多元函数与偏导数,定理9-5（充分条件） 设函数z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏 导数，又 令 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：,34,9.1 多元函数与偏导数,（1）AC-B20时具有极值，且当A0时有极小值； （2） AC-B20时没有极值； （3） AC-B2=0时可能有极值，也可能没有 极值，还需另作讨论,35,9.1 多元函数与偏导数,求具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的 极值的步骤为： 解方程组 求得一切实数解，即可求得一切驻点 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的 值A、B和C 定出AC-B2的符号

12、,按定理的结论判定f(x0,y0) 是否是极值、是极大值还是极小值,36,9.1 多元函数与偏导数,例9-12 求函数z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解 先解方程组,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2) 再求出二阶偏导数,37,9.1 多元函数与偏导数,极小值 f(1,0) = -5；极大值 f(-3,2)=31,38,9.1 多元函数与偏导数,9.1.8.2 最大值及最小值 求二元函数在区域上的最大值和最小值，往往比较复杂但是，如果根据问题的实际意义，知道函数在区域D内存在最大值（或最小值），又知函数在D内可微，且只有唯一的驻点，则该点处的函数值就是所求的

13、最大值（或最小值）,39,9.1 多元函数与偏导数,例9-13 要制造一个无盖的长方体水槽，已 知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价 均为每平方米6元，设计的总造价为216元， 问如何选取它的尺寸,才能使水槽容积最大？ 解 设水槽的长、宽、高分别为x,y,z， 则容积为V=xyz(x0,y0,z0) 由题设知 18xy+6(2xz+2yz)=216,40,9.1 多元函数与偏导数,即 3xy+2z(x+y)=36 解出z，得 将上式代入V=xyz中，得二元函数 求V对x,y的偏导数,41,9.1 多元函数与偏导数,令 ， 得方程组,42,9.1 多元函数与偏导数,解之，得x=2，y=2，z

14、=3 由问题的实际意义得知，函数确有最大 值，又只有一个驻点，所以取长为2米，宽 为2米，高为3米时，水槽的容积最大,43,9.1 多元函数与偏导数,9.1.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题,44,9.1 多元函数与偏导数,拉格朗日乘数法 要找函数z=f(x,y)在条件 下的可能极值点，可以先构造 拉格朗日函数 其中为某一常数求其对x,y与的一阶 偏导数，并使之为零，则有,45,9.1 多元函数与偏导数,由这方程组解出x,y及，则其中x,y就是可能极值点的坐标 例9-14 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱长为x,y,z，则问题就是在条件,46,9.1 多元函数与偏导数,下，求函数 的最大值构造拉格朗日函数 求其对x,y,z的偏导数，并使之为零，得到,47,9.1 多元函数与偏导数,联立求解，解得 这是唯一可能的极值点因为由问题本 身可知最大值一定存在，所以最大值就在这 个可能的极值点处取得也就是说，表面积 为a2的长方体中，以棱长为 的正方体 的体积为最大，最大体积 ,