《工程应用数学 第2版 教学课件 ppt 作者 万金保 8-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程应用数学 第2版 教学课件 ppt 作者 万金保 8-1（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,工程应用数学 第8章 积分,2,积分包括两个基本问题，即不定积分和定积分本章从微分的逆运算出发引出不定积分的概念，从实际问题中引出定积分的概念，然后讨论它们的性质、计算方法以及在实际问题中的应用,第8章 积分,3,8.1 不定积分,8.1 不定积分,8.1.1 原函数与不定积分的概念 引例1 已知曲线通过点(0,2)，且其上任意一点处的斜率等于该点的横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为y=f(x,y)，按题设，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为,4,8.1 不定积分,因为 故必有某个常数C使y = x2 + C 因所求的曲线经过点(0,2)， 代入曲线方程有 2 = 0
2、+ C，则C = 2 于是，所求的曲线方程为,5,8.1 不定积分,引例2 某物体作初速度为零的自由落体运动，已知在时刻的瞬时速度为，求在最初2秒中所落下的距离 解 设此作自由落体运动的物体的路程函数为s=s(t)，由于在时刻t的瞬时速度为v(t)=gt，即,而,6,8.1 不定积分,将已知条件 s(0) = 0代入，得C = 0，所以,定义81 在区间I上，若F(x) = f(x)，则称F(x)是区间I上f(x)的一个原函数,7,8.1 不定积分,一般地，在某一给定的区间内，如果F(x) 是f(x)的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数) 都是f(x)的原函数 在这个意义上，如果一个函数
3、有原函数， 则它就一定有无穷多个原函数，任意两个原函 数仅相差一个常数,8,8.1 不定积分,定义82 设F(x)是区间I内f(x)的一个原函数，则F(x) + C （C为任意常数）称为f(x)在区间I内的不定积分，记作 ， 即,9,8.1 不定积分,例81 求不定积分 解 因为 则 是 的一个原函数，于是,10,8.1 不定积分,8.1.2 不定积分的几何意义 若y= F(x)是f(x)的一个原函数，则称 y= F(x)的图形是f(x)的积分曲线由于 是f(x)的全体原函数，所以它对应的图形是一族积分曲线，称其为积分曲线族,11,8.1 不定积分,积分曲线族y = F(x) +C具有以下的特
4、点（即不定积分的几何意义）：,1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，沿 y轴平行移动而得到当C 0时，向上移动；当C 0时，向下移动,12,8.1 不定积分,2）由于 F(x) +C= F(x) = f(x)，即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于f(x)，从而使相应点的切线相互平行.,13,8.1 不定积分,8.1.3 不定积分的基本性质和基本公式 由不定积分的定义可知，求不定积分其实 就是微分运算的逆运算因此有以下的性质： 性质1 或 性质2 或 性质3 性质4 (k为非0常数),14,8.1 不定积分,基本积分公式,15,8.1 不定积分,例82 求不定积
5、分 解 例83 求不定积分 解,16,8.1 不定积分,例84 求不定积分 解:,17,8.1 不定积分,例85 求不定积分 解:,18,8.1 不定积分,8.1.4 不定积分的第一类换元积分法(凑微分法) 由于积分运算是微分运算的逆运算，因此可以把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分，对积分变量作适当的代换，把要求的不定积分化简成可套用基本积分公式的形式或原函数为已知的其它形式，这样的积分方法称为第一类换元积分法,19,8.1 不定积分,定理81 设f(u)具有原函数F(x)，U=g(x)可导，则有换元公式,20,8.1 不定积分,例86 求不定积分 解:,21,8.1 不定积分,例87
6、求不定积分 解:,22,8.1 不定积分,例88 求不定积分 解:,23,8.1 不定积分,例89 求不定积分 解:,24,8.1 不定积分,例810 求不定积分 解:,25,8.1 不定积分,例811 求不定积分 解:,26,8.1 不定积分,例812 求不定积分 解:,27,8.1 不定积分,一些常用的凑微分公式,28,8.1 不定积分,8.1.5 不定积分的分部积分法 设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则 (uv) = uv + uv， 移项后得 uv = (uv) - uv 对上式两边求不定积分，得,29,8.1 不定积分,化简得 即 （8-2） 式（82）称为不定积分的分部积分公式 在使用分部积分公式时，需注意以下两点： v要容易求得 vdu要比udv更容易积分,30,8.1 不定积分,例813 求不定积分 解:,31,8.1 不定积分,例814 求不定积分 解:,幂函数指数函数 幂函数三角函数,选：幂函数 u 指数函数 三角函数 v,32,8.1 不定积分,例815 求不定积分 解:,幂函数对数函数,选：幂函数 v 对数函数 u,33,8.1 不定积分,例816 求不定积分 解:,34,8.1 不定积分,幂函数反三角函数,选：幂函数 v 反三角函数 u,
