《工程结构力学 教学课件 ppt 作者 程选生 第十一章 结构的动力分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程结构力学 教学课件 ppt 作者 程选生 第十一章 结构的动力分析（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三篇 结构的动力分析,动荷载,动荷载是指荷载大小、方向和作用位置随时间变化，并且变化得较快，使得质量运动加速度所产生的惯性力与结构外力相比不能忽略。 工程中常见的动荷载有以下几类：,结构的动力位置一个几何参数确定，这种体系称为单自由度体系。 结构的动力位置由多个几何参数确定，这种体系称为多自由度体系。 考虑结构的质量连续分布，相当于有无限个质点，而各质点的位移又相互独立，故振动的自由度是无限自由度多个，也称为无限自由度体系。,单自由度,多自由度,无限自由度,质量分布集中在结构某些个位置，而在其余位置不存在质量，这只是一种近似处理，也称为集中质量法。 广义坐标法 将结构分成有限个单元，用有限数
2、目的离散坐标表示结构位移，有限单元法,求解方法,结构动力分析要考虑惯性力对结构的作用，且动力响应不是一个值，而是有关时间的函数。 结构动力分析的目的是要得到动荷载下结构响应与时间的关系。确定结构在动荷载下可能的最大内力，设计结构截面满足承载要求；确定结构在动荷载下的最大位移、速度和加速度，设计结构满足正常使用要求。,动力问题分析的特点和目的,第十章 单自由度系统的振动,第一节 单自由度体系的自由振动,取质点为隔离体，隔离体上作用有外荷载F(t)，以及由运动引起的三个力：惯性力fI、弹性恢复力fs、阻尼力fd，这些力的方向选用位移方向的反向，则根据力的平衡条件： 其中： 则体系的运动方程为：,总
3、结一下建立运动方程的过程 以静平衡位置为位移坐标原点，再使质点在外荷载作用下运动并远离坐标原点； 取质点作为隔离体，隔离体上作用外荷载和由运动引起的惯性力、弹性恢复力和阻尼力； 取惯性力、弹性恢复力和阻尼力与位移方向相反，建立隔离体力平衡方程； 代入惯性力、弹性恢复力和阻尼力的表达式，得到体系的运动方程。,注意 位移坐标原点是静平衡位置，或者说，运动方程中的y只是动位移，不包括某些常量使结构发生的静位移。 所有的力都要作用在质点上，若外力不作用在质点上，应等效为作用在质点上的力，才能建立运动方程。,单自由度体系的运动方程为： 若使外荷载 ，则称为自由振动。即： 若不考虑阻尼 ，则上式变为： 称
4、为无阻尼自由振动。,无阻尼自由振动,上式为一个常系数的齐次线性微分方程，令， 则： 该式的通解为： 式中的常数 由初始条件确定。设初始时刻的位 移和速度分别为 ，即 时， ， 则求得 ，故：,也可表示为： 式中： 这个解描述了一个频率的简谐运动，A表示质点的最大的位移值，称为振幅， 为初相位角，T为周期。,频率，单位赫兹（Hz） 多数时候用到圆频率，也简称为频率， 从上式可看出，结构频率仅与结构的质量和刚度有关，与外界干扰无关，所以也称为结构的自振频率。结构刚度越大、质量越小，结构自振频率越大。,例101 简支梁截面抗弯刚度EI，梁跨中有一个集中质量m，若忽略梁本身质量，试求梁的自振周期和频率
5、。,解：简支梁竖向振动时，跨中位移为： 因此，根据式（109）， 则：,例102 求排架的自振频率，如图1010示，略去柱质量。,解：横梁刚度无穷大，故各柱的水平侧移相同，因 此是单自由度体系。 各柱的刚度系数 ，整个结构的刚度是两柱并 联，则： 因此，根据式（109），,单自由度有阻尼体系自由振动的运动方程为： 令 称为阻尼比。且 ，得到： 上式仍是一个常系数齐次线性微分方程，其特 征方程是： 解得：,有阻尼自由振动,则方程的一般解为： 方程的解取决于根号内的数值，按照特征根的性质不同，分为3种情况,此时解是两个共轭复数， 令 ，则： 方程的解： 其中积分常数C1,C2可由初始条件求得： 则
6、：,低阻尼情况,低阻尼自由振动的位移曲线,经过一个周期的两振幅之比为： 对上式两边取对数，并考虑到一般建筑结构的 阻尼比很小(小于0.1)， 则： （1018） 可用这种方法测量结构等效粘滞阻尼比。但对 于阻尼较小的体系，取相差多个周期的振幅计 算，可以得到更高的精度。即：,此时， ，方程的解为： 代入初始条件，求得： 这就是临界阻尼单自由度体系自由振动的解。质点无振动发生，这是因为阻尼较大，体系在恢复到平衡位置的过程中初始能量全部被阻尼吸收，没有多余的能量引起振动。,临界阻尼情况,此时 是两个负实根，方程的解为: 从方程形式看，过阻尼体系的反应不发生振动，与临 界阻尼情况相似，但返回平衡位置
7、的速度将更慢。,过阻尼情况,第二节 单自由度体系的受迫振动,体系在外荷载作用下的振动称为受迫振动或强迫振 动，其运动方程为： 或写成： 与自由振动相比，受迫振动的等式右侧不为0， 属于非齐次的线性微分方程，本节的内容主要 讨论对应不同外荷载时方程的特解表达。,无阻尼受迫振动 为了简化分析，先分析无阻尼的情况，则体系的运动 方程变为： 1.简谐荷载 设体系承受简谐荷载， ， 分别为荷 载的幅值和振动频率。则运动方程为： 设方程特解为 ，代入上式，得：,故方程特解为： 方程通解为齐次解与特解之和： 其中积分常数 由初始条件确定，则方程的解为： 上式实际上由两部分组成，前3项是以为频率的简谐振动，最
8、后一项是以为频率的简谐振动，它是由荷载引起的。,由于实际工程中总是有阻尼，自由振动项会很快衰减 并最终为0，称为瞬态反应，而在荷载作用下的结构 振动会一直持续下去，称为稳态反应 其中： ，称为静位移，即荷载F静止作用 在体系上使产生的位移； ，称为放大系数，即动荷载作用下的结构反 应与静荷载作用下的结构反应之比。,动力放大系数与荷载频率及结构频率有关。当 ，说明荷载频率小于结构频率时，动位移总是大于静位 移，且位移方向总是与动荷载方向一致。当 ，说明荷载频率很慢时就近似为静荷载。实际上，当荷 载频率是结构频率的 时，就可看作是静荷载。 当 ，说明荷载频率大于结构频率时，位移 方向总是与动荷载方
9、向相反。当 ，说明荷 载振动很快时，结构只是在平衡位置附近作微小振动。 当 ，说明荷载频率与结构频率重合时， 结构的位移和内力无限大，这种现象称为共振。,图1014显示了放大系数与频率比的关系。,例104 求简支梁的最大动位移和最大动弯 矩。已知0.6，不计阻尼。,解：简支梁的静位移为： 位移放大系数 ，则最大 动位移为： 由于荷载作用在质点上，故弯矩放大系数与位移放大 系数相同，故最大动弯矩为：,例105 荷载作用在1/4跨处，其余条件与上例同，求简支梁的最大动位移和最大动弯矩。,解：质点位移由惯性力和外荷载引起，列质点的位移协调条件： 其中： 分别表示单位力作用下及荷载作用下引起 的质点位
10、移。如图1026b，c所示，计算得： 代入得运动方程为： 即： ，等效荷载 ，得：,则最大动位移为： 最大弯矩发生在跨中，则： 将 代入上式，得： 故最大动弯矩为：,2.一般动荷载 设体系初始时刻静止，在瞬时冲量 作用 下，体系产生初速度 ，但初位移为0。 得： 这就是 时刻作用瞬时冲量所引起的动力反 应。,若在 时刻作用瞬时冲量，则在任一时刻 的位移为：,若把一般动荷载的加载过程看作由一系列瞬时冲量组 成，则瞬时冲量就是荷载与时间微分的乘积，即 由该冲量引起的动力反应为： 则结构的总反应就是每个微段的微分反应的叠加，即： 该式称为杜哈米（Duhamel） 积分。,用杜哈米积分，就可以得到任意
11、动荷载下单自 由度体系的动力反应。 若有初始位移和初始速度，则位移为：,例题：（1）突加荷载如图1018所示，表达式为：,将上式代入杜哈密积分，得到位移为： 可看出，在突加荷载作用下，动位移的最大值 为 ，即动力放大系数 。,(2) 短时荷载如图1019所示，表达式为：,位移响应分两阶段计算。第一阶段（ ），此 阶段与突加荷载情况相同，故位移响应为： 第二阶段（ ），此阶段荷载卸除，质点以 时刻的位移和速度作为初位移和初速度作自由振动， 也可用叠加原理，将这阶段的荷载看作突加荷载 和反向突加荷载的叠加。故：,此时，最大动位移与荷载持续时间 有关，若 时，最大位移发生在第一阶段，动力 放大系数
12、；当 时，最大位移发 生在第二阶段，动力放大系数为：,(3) 线性增加荷载如图1020所示，表达式为：,位移响应分两阶段， 得： 位移响应与增加荷载的时间 的大小有关。当荷载增加时间很短， ，动力放大系数 ，相当于突加荷载的情况；当荷载增加时间很长， ，动力放大系数 ，相当于静荷载的情况。,有阻尼受迫振动 有阻尼单自由度体系受迫振动的运动方程为： 或写为： 同样上式的解分为齐次方程的通解和非齐次方 程的特解。,对于一般动荷载，非齐次方程的特解仍可采用 杜哈米积分得到，但注意此时有阻尼项的影响 若考虑初位移和初速度，则： 这就是有阻尼单自由度体系在一般动荷载下的 位移响应。,简谐荷载的情况 将简
13、谐荷载代入，考虑到由初始 条件引起的自由振动会因阻尼的作用而衰减因 此由荷载引起的稳态反应，即， 得： 其中：,令， 则上式又可写为： 其中： 分别为有阻尼稳态响应的振幅和相位角。,动力放大系数： 上式表明动力放大系数不仅与频率比有关，还 与阻尼比有关。,图1021显示了动力放大系数与频率比和阻尼比之间的关系。,从图中可看出，阻尼比增大，动力放大系数 减小，尤其在 处，动力放大系数的峰值 下降显著。但在 处，动力放大系数 而动力放大系数的最大值是 ，所 以共振处并不是响应最大处，但非常接近。,第十一章 多自由度系统的振动,第一节 多自由度体系的自由振动 实际工程中多数是多自由度体系，若简化为单
14、 自由度体系会过于简陋。如多层房屋的侧向振 动，计算简图如图111所示，横梁刚度无穷 大，柱质量忽略不计，假设质量集中在各层 处，则结构的振动由每层的水平位移确定，故 该结构是3个自由度，表示为弹簧阻尼系 统即为图111b。,多自由度体系与单自由度体系的区别在于运动 方程变成了方程组，方程组中的每个方程分别 表示各质点的运动情况。而建立运动方程的方 法和单自由度体系完全相同，或考虑质点的力 平衡，用刚度法来求解，或考虑质点的位移协 调，用柔度法来求解。,一、 刚度法 图112为两自由度体系，假设阻尼为0。取各 质点作为隔离体，如图112b所示。隔离体上 分别作用有惯性力 和弹性恢复 力 。,其
15、中弹性恢复力可按叠加原理表示为： 列各质点的平衡方程，得： （111） 这就是刚度法建立多自由度体系自由振动的运 动方程。 假设方程的特解为：,将上式代入式（111），并消去公因子 得： （112） 上式是关于 的齐次方程，得到非零解的条件是系 数行列式等于零，即： （113） 该式称为频率方程或特征方程。解该式即可求得结构 的自振频率 。具有两个自由度的体系共有两个自振 频率 ， 为最小的自振频率，称为第一频率 或基本频率。,将代入式（112）中任意一个方程，可求出的比 值，该比值所确定的振动形式就是第一振型，如图 113a所示。,其中： 分别表示第一振型中质点1，2的 振幅。 同样，将 代入，也可求出 的比值，该 比值所确定的振动形式是第二振型，如图 113b所示。 其中： 分别表示第二振型中质点1，2的振 幅
