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1、第二章 平 面 力 系,第一节 平面任意力系的简化及简化结果的讨论 第二节 平面任意力系的平衡方程及其应用 第三节 静定与超静定问题及物体系统的平衡 第四节 平面静定桁架内力的计算 第四节 考虑摩擦时的平衡问题 小结,返回目录,下一页,上一页,作用在刚体上的力系中，当各力的作用线都在同一平面内，这种力系称为平面力系。,第一节 平面力系的简化,返回首页,下一页,上一页,一、平面力系的概念,FNAy,FNAx,FNB,返回目录,FT1,FT2,FT1,FT2,W,FT3,FT3,FR2,FR1,FR1,FR2,FNAy,FNAx,FNB,当各力的作用线汇交于一点时，称为平面汇交力系 。,一、平面力
2、系的概念,当各力的作用线相互平行时，称为平面平行力系 。,当各力的作用线既不全部相交，又不全部平行时，称为平面任意力系 。,下一页,上一页,返回首页,W,F前,F后,F,在工程实际中，结构或机构中各构件的位置往往呈空间分布，力的作用线也并不都在同一平面内，但若物体的形状和它所受的力都对称或近似对称与某个对称平面，那就可将作用在物体上的各力都移到该对称平面内，把原来的空间问题转化为作用在对称平面内的平面问题来处理 。,下一页,上一页,返回首页,x,y,O,O为简化中心,二、平面任意力系的简化,F1,F2,Fn,M1,M2,Mn,MO,FR,MO=M1+ M2+ Mn= MO(F1)+MO(F2)
3、+MO(Fn) MO=MO(F) （2-2）,主矢,主矩,在平面内任选一点O为简化中心。,根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个交于O点的平面汇交力系F1，F2， ，Fn，以及平面力偶系M1， M2，Mn。,平面汇交力系F1，F2， ，Fn，可以合成为一个作用于O点的合矢量FR，它等于力系中各力的矢量和。,FR= F1+F2+Fn=F1+F2+ Fn=F,附加平面力偶系M1，M2，Mn可以合成为一个合力偶MO， 按式（1-9）可得主矩的值 。,下一页,上一页,返回首页,MO,FR,其中夹角为锐角，FR的指向由Fx和Fy的正负号决定。,（2-1）,下一页,上一页,返回首页,MO,FR,（
4、2-1）,MO=MO(F) （2-2）,单独的FR不能和原力系等效，故称它为力系的主矢。 单独的MO也不能和原力系等效，故称其为原力系的主矩。它等于力系中各力对简化中心力矩的代数和。 原力系与其主矢FR和主矩M的联合作用等效。其中，主矢FR的大小和方向与简化中心的选择无关，而主矩M的大小和转向与简化中心的选择有关。,下一页,上一页,返回首页,三、简化结果的讨论,平面任意力系的简化，一般可得到主矢FR和主矩MO，但它不是简化的最终结果，简化结果通常有以下四种情况。 1FR0、MO=0 因为MO0，主矢FR就与原力系等效，FR即为原力系的合力，其作用线通过简化中心。 FR=0、MO0 原力系简化结
5、果为一合力偶MOMO(F)， 此时主矩MO与简化中心的选择无关。,下一页,上一页,返回首页,3FR0 、 MO0 根据力的平移定理逆过程，可以把FR和MO合成为一个合力FR 。 合力FR的作用线到简化中心的O的距离d为,FR,F“R,d,合力FR 是在主矢FR的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。,（2-3）,下一页,上一页,返回首页,4 FR =0 、 MO = 0 物体在此力系作用下处于平衡状态。 关于平衡问题将在下面的节章中进行详细讨论。,下一页,上一页,返回首页,1 基本形式 如平面任意力系向任一点O简化，所得主矢、主矩均为零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则主矢、主矩必同
6、时为零。因此，平面任意力系平衡的充要条件为,一、平面任意力系的平衡方程,第二节 平面任意力系的平衡方程及其应用,下一页,上一页,MO=MO(F) =0,（2-4）,返回目录,可得,一、平面任意力系的平衡方程,Fx0 Fy0 MO (F) 0,1 基本形式,MO=MO(F) =0,（2-4）,因平面任意力系有三个独立的平衡方程，故最多只能求解三个未知量。,下一页,上一页,返回首页,注意到在导出平衡方程的过程中，没有对投影轴的方向与矩心的位置做过任何的限制，因此方程组合形式繁多，方程数三个是必须的，但须注意它的充分性，例如常见的二矩式,2其它形式,Fx0 MA(F)0 （2-5） MB(F)0,必
7、须加上附加条件才是充分的，它的附加条件为：x 轴不能垂直于AB连线。,下一页,上一页,返回首页,1）确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。 2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此二力的坐标轴，列出投影方程。如不存在两未知力相互平行，则可选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可以不画，但倾斜则必须画出。 题解分析。将已知量以其代数量入题。先得代数形式的解以便分析各参数对解的影响，最后一次性代入数字得数字解，这是工程分析的习惯。,二、平面任意力系平衡方程的解题步骤,下一页,
8、上一页,返回首页,摇臂吊车如图所示，已知梁AB的重力为G14kN，立柱EF的重力为G23kN，载荷为W20kN，梁长l2m，立柱h1.2m，载荷到A铰的距离x1.5m，点A、E间水平距离a=0.2m，拉杆倾角30 。试求立柱E、F处的约束反力。,解 1）画受力图 。,例2-3,2）列平衡方程求解。,FEy,FEx,FFx,因求E、F处的支座反力，故取整个摇臂吊车为研究对象。,注意到受力图中有两未知力FFx与FEx互相平行，故取轴y为投影轴，列出投影方程为：,Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx,Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （）,下一页,上一页,返回首页,已知；
9、G14kN，G23kN，W20kN，l2m，h1.2m，x1.5m，a=0.2m，30 。 试求立柱E、F处的约束反力。,解 1）画受力图 。,2）列平衡方程求解。,求出FEy后，只存在点F、E上两处未知力，故可任择其一为矩心，列出力矩方程为：,Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx,Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （）,ME(F)=0 ， FFxlh-G1(a+l/2)W(x+a)=0 FFx=G1(2a+l)+2W(x+a)/2 = 32.3 kN （） FEx=FFx = 32.3 kN （ ）,下一页,上一页,返回首页,求上题中拉杆的拉力和铰链A的反力。,解
10、 1）画受力图 。,例2-3,2）列平衡方程求解。,因已知力、未知力汇集于AB梁，故取它为研究对象，画出AB梁的分离体受力图 。,图中A、B、C三点各为两未知力的汇交点。比较A、B、C三点，取B点为矩心列出力矩方程计算较为简单，即,Fx0， FEx-FTcos =0 FEx=FTcos =29.44 kN （ ）,Fy0 ， FTsin+FAyG1W= 0 FAy34 kN （）,G1,W,FAy,FAx,FT,MB(F)=0 ， FFxlh-G1l/2 +W(lx)-FAy=0 FAy = 7 kN （）,x,y,下一页,上一页,返回首页,悬臂梁上作用均布载荷q，在B端作用集中力Fql和力偶
11、Mql2；梁长度为2l，已知q和l。求固定端的约束反力。,解 1）取AB梁为研究对象， 画受力图。,例2-4,x,y,Fx0， FAx=0,FAx,FAy,MA,把均布载荷q简化为作用于梁中点的一个集中力FQ2ql。,FQ,2）列平衡方程求解，即,MA(F)=0 ， MMA2FlFQl = 0 MA= M2FlFQl = ql22ql22ql2 = ql2,Fy0 ， FAy+FFQ= 0 FAyFQF=2qlql = ql （）,下一页,上一页,返回首页,一飞机作直线水平匀速飞行。已知飞机的重力G、阻力FD，俯仰力偶矩M 和飞机尺寸a、b和d。试求飞机的升力FL，尾翼载荷FQ和喷气推力FT。
12、,解 1）以飞机为研究对象，其受力图如图所示 。,例2-5,2）列平衡方程求解，即,MO(F)=0 ， M +FTb+Ga-FQd = 0 FQ=(M+FTb+Ga)/d,Fx0 ， FDFT= 0 FTFD,Fy0 ， FL-GFQ= 0 FLG+FQ = G+ (M+FTb+Ga)/d,下一页,上一页,返回首页,1.平面汇交力系,Fx0 Fy0,若平面力系中各力作用线汇交于一点，则称为平面汇交力系。显见MM(F) 0恒能满足，则其独立平衡方程为两个投影方程，即,（2-6）,三、平面任意力系的特殊形式,F1,O,F2,F3,F4,x,y,下一页,上一页,返回首页,2平面平行力系,Fy0 MO
13、(F)0,若平面力系中各力作用线全部平行，则称为平面平行力系，取y轴平行于各力作用线。显见Fx0恒能满足，则其独立平衡方程为,MA(F)0 MB(F)0,其中A、B两点的连线不能与各力平行。,（2-7）,（2-8）,也可用二矩式，即,F1,O,F2,F3,Fn,x,y,下一页,上一页,返回首页,外伸梁如图所示， F=qa/2，M=2ql2, 已知。求A、B两点的约束反力。,MA(F)=0 ， FB2a-M-Fa-FQa/2=0 FB=(M+Fa+0.5FQa)/2a=2qa () Fy=0 ， FA+FB-F-FQ=0 FA=FQ+F-FB=3qa+qa/2-2qa=1.5qa (),例2-6
14、,FA,FB,解 1）取AB梁为研究对象，画受力图。,2）列平衡方程求解，即,均布载荷化简为作用于D点的一个FQ=3qa 集中力。,FQ=3qa,D,2.5a,下一页,上一页,返回首页,塔式起重机如图所示，机架自重为W，最大起重荷载为W，平衡锤的重力为WQ，已知 W 、 FP、a、b、e。要求起重机满载和空载时均不致翻倒。求WQ的范围 。,例2-7,下一页,上一页,下一页,上一页,返回首页,解 1)选起重机为研究对象 2）列平衡方程求解。,满 载,满载时， FP最大 则WQ = WQmin，在临界平衡状态 A处悬空，即FA=0，机架绕B点向右翻倒，如图所示，则：,MB(F)0 ， WQmin(
15、a+b)-FPl-We0 WQmin,FB,WQmin,FP,下一页,上一页,返回首页,故WQ的范围 ： WQ,空 载,空载时，即FP=0 在临界平衡状态，则WQ = WQmax B处悬空，即FB=0，机架绕A点向左翻倒，如图所示，则：,MA(F)0 ， WQmaxa -W(e+b )0 WQmax,WQmax,FA,下一页,上一页,返回首页,退出,一个刚体平衡时，未知量个数等于独立方程的个数，全部未知量可通过静力平衡方程求得。这类问题称为静定问题。 对于工程中的很多构件和结构，为了提高其可靠度，采用了增加约束的方法，因而其未知量个数超过了独立方程个数，仅用静力学平衡方程不可能求出所有的未知量。这类问题称为超静定问题。,下一页,上一页,第三节 静定与超静定问题及物体系统的平衡,一、静定与超静定问题的概念,返回目录,求解力学问题，首先要判断研究的问题是静定的还是超静定的问题。,FT1,FT2,FT3,平面汇交力系，有三个未知量。,平面平行
