《工程力学 第2版 教学课件 ppt 作者 张秉荣 主编第五章第四节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学 第2版 教学课件 ppt 作者 张秉荣 主编第五章第四节（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 动力学普遍定理,动力学基本方程及其动静法是解决动力学问题的基本方法之一，但是在实际运用中，它在各个不同方向，有固定形式的中继形态，形成了几个动力学普遍定理，使用它可以省却前期的推倒，解决问题更为直观而且简单。,下一页,上一页,返回目录,1质点的动量 高中物理中已阐明。动量是表征质点机械运动强度的一个物理量。设质点的质量为m，其速度为v，则质点的动量可由质点的质量与其速度的乘积来表示，即该瞬时质点的动量为mv。动量是矢量，它与质点的速度v方向相同，动量的单位是kgm/s。,一、质点动量定理,下一页,上一页,返回首页,2冲量 从物理中还知道，物体运动的改变，不仅决定于作用在物体上的力，而且
2、与力所作用的时间有关。例如杂技顶缸中演员就是因增加头缸接触时间来头缸间的冲击。因此，工程中将力在一段时间间隔内作用的累积效应称为力的冲量。当作用力F为常力、作用时间为t，F在时间间隔内的冲量I为 I Ft 冲量是矢量，它的方向与力的方向相同。冲量的单位是Ns。,下一页,上一页,返回首页,当作用力F为变力时，它在无穷小的时间间隔dt内仍可视为常量，故可得时间dt内力的元冲量为 dI Fdt 于是可得在时间间隔t内，力的冲量为,下一页,上一页,返回首页,3质点的动量定理 设质量为m的质点M在合力F的作用下运动，其速度为v (如图）。根据动力学基本方程有,由于质点的质量为常量，上式亦可写成,可以看出
3、，式中括号内为质量点的动量。因此，式(5-15)表明：质点动量对时间的变化等于该质点所受的合力。,（5-15）,a,F,M1,v1,M2,v2,M,v,mv1,mv2,I,下一页,上一页,返回首页,（5-15）,将式(5-15)分离变量后，两边积分可得,式(5-16)表明：质点动量在任一时间间隔内的改变，等于在同一时间间隔内作用在该质点上的合力的冲量。这就是积分形式的质点的动量定理。,（5-16）,下一页,上一页,返回首页,设质点系由n个质点组成；其中某质点的质量为mi速度为vi，作用于该质点上的力有外力 和质点系内各质点之间相互作用的力，即内力 。由质点动量定理，有,二、质点系的动量定理,则
4、将各质点的动量定理相加，可得,下一页,上一页,返回首页,式中，mivi为质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，并以p表示，则 p=mivi,因为存在maC=miai故有mivi =mvC，所以 p=mvC ；又因为作用于质点系上的所有内力总是成对出现，且它们的大小相等、方向相反，所以内力的矢量和恒等于零，于是上式可简化为,（5-17）,下一页,上一页,返回首页,即质点系的动量对时间的变化率，等于质点系所在地受外力的矢量和。这就是微分形式的质点系的动量定理。 将式（5-17）两边乘以dt，并在时间间隔(t2-t1)内进行积分，可得,式中，p1和p2分别表示质点系在时间t1和t2的动量。
5、式（5-18）表明：质点系的动量在任一时间间隔内的改变，等于在同一时间间隔内，作用在该质点系上所有外力冲量的矢量和。这就是积分形式的质点系动量定理。,（5-17）,（5-18）,下一页,上一页,返回首页,当质点系不受外力作用或作用于质点系上外力的矢量和为零，即作Fi(e) =0时，式（5-17）及（5-18）有 p=mivi =mvC=常矢量 它表明：当作用于质点系上外力的矢量和恒等于零时，质点系的动量将保持不变。这就是质点系动量的守恒定理。,（5-17）,（5-18）,下一页,上一页,返回首页,设作用在活塞上的合力为F，按规律F0.4mg(1-kt)变化，其中m为活塞的质量，k=1.6s-1
6、。已知tl=0，活塞的速度v1=0.2m/s，方向沿水平向右。试求t2=0.5s时活塞的速度。,解 取以活塞为研究对象。已知作用在活塞上的合力F随时间的变化规律及t2、v1，要求v2，故采用积分形式的动量定理、取坐标轴Ox，向右为正，根据式（5-16），有 mv2x-mv1x=Ix （a） 在给定条件下,例5-11,以式（b）及v1x = v1、v2xv2代入式（a），得,下一页,上一页,返回首页,已知：F0.4mg(1-kt) ，k=1.6s-1，tl=0，v1=0.2m/s。 试求t2=0.5s时活塞的速度。,解 mv2x-mv1x=Ix （a）,解 得,= 1.38m/s,下一页,上一页
7、,返回首页,有一质量m10kg的邮包从传送带上以速度v1=3m/s沿斜面落入一邮车内，如图。已知邮车的质量M50kg，原处于静止。不计车与地面间的摩擦，求邮包落入车内后，车的速度v2。,解 将邮包及邮车分别视为两质点，组成一质点系。由于作用于质点系上的外力在x轴上投影的代数和等于零，即Fx(e)=0， 所以质点系的动量在x轴上的投影应保持常量，即,例5-12,v2,v1,mv1cos30+0mv2+Mv2,得,下一页,上一页,返回首页,工程中，常用动量矩的概念来表示物体绕某点（或轴）转动运动量的大小。 1质点对轴的动量矩,三、动量矩定理,设有质点M，其质量为m，它在与轴z垂直的平面N内的速度为
8、v，动量为mv，称质点的动量mv与质点速度v至z轴距离r的乘积为质点对固定轴z的动量矩，以Mz(mv)表示，即,Mz(mv)=mvr (5-19),下一页,上一页,返回首页,Mz(mv)=mvr (5-19),由式（5-19）可以看出，对固定轴的动量矩是代数量，通常规定：从z轴的正向看去，使质点绕z轴作逆时针转动的动量矩为正，反之为负。图中，质点M对z轴的动量矩为正值。在国际单位制中，动量矩的单位为kgm2/s。,z,O,N,r,M,mv,下一页,上一页,返回首页,设质点系由n个质点组成，称其中每一个质点对于固定轴z的动量矩的代数和为质点系对z轴的动量矩，记为Lz，即 Lz=Mz(mv) （5
9、-20） 工程中，常需计算作定轴转动的刚体对固定 轴的动量矩。设刚体以匀角速度绕定轴转动，在刚体内任取一点Mi，其质量为mi， 该质点至转轴z的距离为ri，质点的速度vi的大小为ri，它对转轴z的动量矩为 Mz(mivi)= miviri= miri2,2质点系及刚体对轴的动量矩,z,O,ri,mivi,Mi,下一页,上一页,返回首页,Mz(mivi)= miviri= miri2,z,O,ri,mivi,Mi,整个刚体对固定轴z的动量矩为组成刚体的各质点动量矩的代数和，即 Lz=Mz(mvi)=miri2 =Jz （5-21）,式（5-21）表明：绕定轴转动的刚体对于转轴的动量矩，等于刚体对
10、于转轴的转动惯量与其角速度的乘积。,下一页,上一页,返回首页,设在平面内有一质点M，此质点绕与平面N垂直的z轴作圆周运动。已知质点的质量为m，某瞬时的速度为v，加速度为a，其动量为mv 。,3质点动量矩定理,z,O,N,R,M,mv,a,F,F,Fn,根据动力学基本方程Fma， 将此式向点M处的圆周的切线方向投影，得 Fma 再将投影式两边乘以圆的半径R，得,FRmaRm R (mvR),下一页,上一页,返回首页,式中，FR表示作用于质点上的力F对转轴z之矩，mvR表示质点的动量与它到z轴垂直距离的乘积，即质点对z轴的动量矩，表征质量点绕z轴转动的强度，故上式可写成,这一结论虽然是从一特例中推
11、导出来的，但是它具有普遍意义。它表明，质点对于某一固定轴的动量矩对于时间的导数，等于作用在质点上的力对于同一轴之矩。这就是质点的动量矩定理。,FRmaRm R (mvR),（5-22）,下一页,上一页,返回首页,设质点系由n个质点组成，取其中任一质点Mi，此质点的动量为mi vi，作用在该质点上内力的合力为 ，外力的合力为 。由前述质点动量矩定理有,4质点系动量矩定理,式中，Mz(mivi)为质点系对固定轴z的动量矩，记为Lz。 在质点系中，由于质点间相互作用的内力总是成对出现，它们对z轴力矩的代数和恒为零，即 ， 故上式可写成,下一页,上一页,返回首页,或,式（5-23）表明：质点系对于某一
12、固定轴的动量矩对于时间的导数，等于质点系所有外力对于同一轴之矩的代数和。这就是质点系的动量矩定理。 由式（5-23）可以看出，当作用于质点系上的外力对某一固定轴之矩的代数和等于零时，即 ， 有,（5-23）,即 Lz=Mz(mv)=常量 （5-24）,下一页,上一页,返回首页,或,它表明：如果作用于质点系的外力对于某固定轴之矩的代数和等于零，则质点系对于该轴的动量矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定理。,（5-23）,Lz=Mz(mv)=常量 （5-24）,下一页,上一页,返回首页,用动量矩定理解例5-6,解 取滚筒与重物组成的质点系为研究对象。作用于质点系上的外力及转矩有重物的重力为mg，滚
13、筒重力G，轴承O处的约束反力Fx、Fy。 设某瞬时滚筒转动的角速度为，则重物上升的速度v=d/2。整个系统对转轴O的动量矩为 L=J+mvd/2= J+md2/4 由质点系动量矩定理 (J+md2/4)=T-mgd/2 (J+md2/4) = T-mgd/2,例5-13,T,G,Fy,Fx,下一页,上一页,返回首页,用动量矩定理解例5-6,解 L=J+mvd/2= J+md2/4 (J+md2/4)=T-mgd/2 (J+md2/4) = T-mgd/2,滚筒角加速度为,重物上升的加速度等于滚筒边缘上任意一点的切向加速度，故,下一页,上一页,返回首页,图示的调速器中，长为2a的水平杆AB与铅垂
14、轴固连，并绕z轴转动。其两端用铰链与长为 l的细杆 AC、BD相连，细杆端部各有一重力为G的球。起初两球用线相连，杆AC、BD位于铅垂位置。,解 将整个调速器视为质点系，其所受外力有小球的重力及轴承处的约束反力，这些力对转轴之矩均为零。由质点系动量矩守恒定律知，绳拉断前后系统对z轴的动量矩不变。,例5-14,0,z,当机构以角速度0绕铅直轴转动时，线被拉断。此后，杆AC、BD各与铅垂线成角。若不计各杆重力，且此时转轴不受外力矩作用，求此系统的角速度。,G,G,A,A,B,B,C,D,G,G,C,D,下一页,上一页,返回首页,解 由质点系动量矩守恒定律知，绳拉断前后系统对z轴的动量矩不变。,绳拉断前系统的动量矩为,绳拉断后系统的动量矩为,由Lz= Lz得,绳拉断后系统的角速度为,退出,下一页,上一页,返回首页,
