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1、第7章 直梁的弯曲 学习目标： 理解平面弯曲的概念，掌握直梁在平面弯曲时的内力计算，熟练画出剪力图和弯矩图，掌握弯曲正应力的计算方法，应用强度条件解决工程实际问题。了解梁的变形计算。 71平面弯曲的概念 杆件的弯曲变形是工程中最常见的一种变形形式，如图7-1所示机车轮轴，桥式吊车的横梁。它们的特点是：作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线，杆的轴线由原来的直线变为曲线，这样的变形称为弯曲变形。凡以弯曲变形为主要变形的构件，习惯上称之为梁。,图7-1弯曲变形实例,工程上大多数梁的横截面都具有对称轴，该轴称为纵向对称轴；梁的轴线和截面的纵向对称轴所决定的平面称为纵向对称面，如图7-2所示。若梁上的
2、外力或力偶都作用在纵向对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内由直线弯成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的。所以，本章中只讨论平面弯曲问题。,图7-2平面弯曲,梁的结构形式很多，但按其支座情况可分为以下三种形式，即简支梁、外伸梁和悬臂梁，如图7-3所示。,图7-3梁的结构形式,72梁弯曲时横截面上的内力 求解梁横截面上内力的方法是截面法。 图7-4a所示的简支梁，受集中力P1和P2作用。为了求出距A端支座为x处横截面m-m上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出梁的支座反力RA和RB，然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截开，并以左边部分为研
3、究对象（图7-4b）。因RA与P1一般不能互相平衡，为了保持左段梁的平衡，截面m-m上必有一个与截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；又因RA与P1,对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持左边部分不发生转动，在横截面m-m上必有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横截面上一般存在两个内力因素，其中称Q为剪力，称M为弯矩。,图7-4简支梁,剪力Q和弯矩M的大小和方向都可以依据左边部分的平衡关系来确定。由图7-4b可得,即,（7-1）,再由,得,（7-2）,如果取梁的右侧部分为研究对象，
4、用同样方法亦可求得截面m-m上的剪力Q和弯矩M（图7-4c）。分别以左侧和右侧为研究对象求出的Q和M，数值是相等的，而方向和转向则是相反的，这是因为它们是作用与反作用的关系。 根据上面的计算结果式（7-1）和（7-2），可得计算剪力和弯矩的规律如下：,梁内任一截面上的剪力大小，等于截面一侧（左或右）梁上所有外力的代数和；梁内任一截面上的弯矩大小，等于截面一侧（左或右）梁上外力对该截面形心力矩的代数和。 和前面计算轴力和扭矩一样，剪力和弯矩的正负也按梁的变形来确定。即截面m-m左段对右段向上错动时，则截面m-m上的剪力为正；反之，为负（图7-5a）。截面m-m处弯曲变形向下凸起时，则横截面上的弯
5、矩为正；反之为负（图7-5b）。,图7-5剪力与弯矩的正负规定,根据上述剪力和弯矩的正负规定，任一截面上的剪力和弯矩无论用这个截面左侧和右侧的外力来计算，所得数值的正负号都是一样的，由此确定外力的正负。计算剪力时，截面左侧向上的外力或截面右侧向下的外力取正值；反之取负值。计算弯矩时，截面左侧梁上外力对截面形心的力矩顺时针转向，截面右侧梁上外力对截面形心的力矩逆时针转向时取正值；反之，取负值。可将此规定归纳为一个简单的口诀：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。 例7-1简支梁受集中力=1000N，力偶m=1KNm，均布载荷q=4 KN/ m，如图7-6所示，试求-和-截面上的剪力和弯矩。
6、,图7-6受载荷作用的简支梁,解 1）求支座反力,RA =250N,RB =2750N,2)计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象） - Q= RA =250N,-,73剪力图和弯矩图 731剪力方程和弯矩方程 由上例可知，在一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为截面位置x的函数，即,上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 732剪力图、弯矩图 为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图形来表示。即取一平行于梁轴
7、线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫梁的剪力图和弯矩图。,剪力图和弯矩图的做法是先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力和弯矩方程。取横坐标x表示截面的位置，纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。举例如下： 例7-2一简支梁AB（图7-7a）在C点受集中力P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。,图7-7受集中力作用的简支梁,解：1）求支座反力 以整个梁为研究对象，由平衡方程,求得：,2)列剪力方程和弯矩方程 因A、C、B处受集中力作用，故共有三个界点，即A、C、B三点。因此可
8、将梁分为两段（AC和CB）列出剪力方程和弯矩方程。 AC段：距A端x处任取一横截面，取左侧为研究对象，剪力方程和弯矩方程为：,(0 xa) (1),(0xa) (2),CB段：在CB段内距A端x处取横截面，取右侧为研究对象，列出该段的剪力方程和弯矩方程：,（a xL） (3),(axL) (4),3）按方程分段绘图 由式(1)和式(3)可知，AC段和CB段剪力均为常数，所以剪力图是平行于x轴的直线，AC段的剪力为正，画在x轴之上，CB段剪力为负，画在x轴之下（7-7b）。 由式(2)和式(4)可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段倾斜直线。根据式(2)和式(4)确定界点处的弯矩值：,，,
9、，,由这三点分别绘出AC段和CB段的弯矩图图（7-7c）。 4）讨论 由剪力图（7-7b）可以看出，当x= a时，剪力图上有两个值，即Pb/L和-Pa/L，此种情况称为剪力图突变。可理解为当截面从左向右无限趋近截面C时，即在C点左侧时，剪力为Pb/L，一旦越过截面C，即在C点右侧时，则剪力变为-Pa/L。图7-7b中集中力作用点A、B、C都是突变点。 由弯矩图7-7c可知，集中力P作用点C，弯矩图发生转折。且该截面上的弯矩值最大为Pab/L。 分析此例，可得出如下规律： 1)集中力作用时，两力之间的剪力图为一平行于梁轴的直线；集中力作用点处，剪力图发生突变，突变方向与外力方向相同，突变幅度等于
10、外力大小。 2)剪力图为直线时，其对应区间的弯矩图为一倾斜直线，斜线的斜率等于对应的剪力图的值。剪力图为x轴的上平行线时，弯矩图向上倾斜；弯矩图为x轴的下平行线时，弯矩图向下倾斜。 例7-3 一简支梁，受集中力偶m作用，（图7-8a），试绘此梁的剪力图和弯矩图。,图7-8受集中力偶作用的简支梁,解：1）求支座反力 由平衡方程,可求得：,2)分段列出剪力方程和弯矩方程 本题中有三个界点，将梁分为AC和CB两段，分别在两段内取截面，列出各段的剪力和弯矩方程,AC段 ：,(0xa) (1),(0xa) (2) CB段：,(axL) (3),(axL) (4),3)按方程分段绘图 式(1)和(3)表明
11、剪力图为一直线（图7-8b）。由式(2)得：,，,根据这两点作AC段的弯矩图（图7-8c）。由式(4)得：,，,根据这两点作CB段弯矩图。 分析此例可得出如下规律： 梁上在集中力偶作用点处，剪力图不变，弯矩图突变。突变方向为：若力偶为顺时针转向，则弯矩图向上突变；反之力偶逆时针转向时，则弯矩图向下突变。为此，可简记为“顺上逆下”。突变幅度等于力偶矩的大小。 例7-4简支梁受集度为q的均布载荷作用（图7-9a），试绘出此梁的剪力图和弯矩图。,图7-9受均布载荷作用的简支梁,解：1）求支座反力 由于q是单位长度上的载荷，所以梁上的总载荷为qL，又因梁左右对称，可知两个支座反力相等，即：,2）列剪力
12、方程和弯矩方程 本题中有两个界点，故将梁分为一段，距梁左端为x的任意截面上的剪力和弯矩方程分别为,(0 x1L) (1),(0xL) (2),3）按方程分段绘图 式（1）表明剪力图为斜直线，且,，,;,得两点的剪力值，绘出剪力图。（图7-9b）。 式（2）表明弯矩图为二次抛物线，选取几个点，即可作出弯矩图（图7-9c）。,分析此例即可得出下列规律： 1）梁上有均布载荷作用时，其对应区间的剪力图为直线，均布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜（），斜线的斜率等于均布载荷的载荷集度q。 2）剪力图为斜线时，对应的弯矩图为抛物线，剪力图下斜（），弯矩图上弯（），反之则相反。 3）剪力图Q=0的点其弯矩值
13、最大。抛物线部分的最大值等于抛物线起点至最大值点对应的剪力图形的面积。（7-9c ),733剪力图和弯矩图的画法 前面总结了集中力、集中力偶和均布载荷作用时，剪力图和弯矩图的作图规律，下面我们根据这些规律快速而准确地作出梁的剪力图和弯矩图。 例7-4 简支梁受集中力P1=3KN，P2=1KN的作用(图7-10a)。已知约束反力RA=2.5KN，RB=1.5KN， 其他尺寸如图所示。试绘出该梁的剪力图和弯矩图。,图7-10受两集中力作用的简支梁,解：1）绘剪力图 剪力图从零开始，一般自左向右，逐段画出。根据规律可知，因A点有集中力RA，故在A点剪力图突变，由零向上突变2.5KN，从A点右侧到C点
14、左侧，两点之间无力作用，故剪力图为平行于x轴的直线。因C点有集中力P1，故在C点剪力图由2.5KN向下突变3KN，C点左侧的剪力值为2.5KN，C点右侧的剪力值为-0.5KN。同样的道理，以此类推，可完成其剪力图（图7-10b）。需要说明，剪力图最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。,2)绘弯矩图 弯矩图也是从零开始，自左向右，逐段画出。A点因无力偶作用，故无突变。因AC段剪力图为x轴的上平行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5（图7-10c中斜率仅为绘图方便而标注），C点的弯矩值为,。CD段的弯矩图为一从2.5KN.m开始的下斜线，斜率为0.5，故D点的,例7-
15、5 外伸梁受力如图7-11a所示，M=4KN.m，P=10KN，RA=-6KN，RB=16KN，其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图,弯矩值为,，同样的道理可画出DB段弯矩图，最后回到零（图7-10c）。,图7-11 外伸梁,解：1）绘剪力图 根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A点零开始，向下突变6，从6开始画x轴平行线至B点，向上突变16，再画x轴平行线，最后在D点向下突变10而回到零（图7-11b）。 2）绘弯矩图 从A点零开始，画斜率为6的下斜线至C点，因C点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆下”，故弯矩向上突变4，再画斜率为6的下斜线至B点，在B点
16、转折，作斜率为10的上斜线至D点而回到零（图7-11c）。,例7-6 悬臂梁如图7-12a所示，已知P=4KN，q=2KN/m，A点的约束反力RA=8KN，MA=16KN.m，其它尺寸如图所示，试绘出该梁的剪力图和弯矩图。,图7-12悬臂梁,解：1）绘剪力图 A点至C点的剪力图画法与前例相同，C点至D点因受均布力作用，根据规律，剪力图为从4开始的斜率q=2的下斜线，最后回到零（图7-12b）。 2）绘弯矩图 因A点有约束反力偶MA，故A点的弯矩图由零向下突变16。A点至C点的弯矩图作法同前例。C点到D点，因剪力图下斜，故弯矩图上弯而回到零（图7-12c）。D点的弯矩值4也可用CD段的剪力图的面积求得： 421/2=4。 例7-7 外伸梁受力如图7-13a所示，已知M=16KN.m，q=2KN/m,P=2KN,约束反
