工程振动基础 教学课件 ppt 作者 任兴民 秦卫阳第4章

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1、,工程振动基础,第4章 多自由度系统的振动,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,工程振动基础,西北工业大学,第4章 多自由度系统的振动,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,4.1 多自由度系统的数学描述,第4章 多自由度系统的振动,工程振动基础,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,4.3 多自由度固有振动近似解法,4.4 模态分析技术及应用,4.5 多自由度系统强迫振动的模态分析,4.6 多自由度系统的状态空间描述,4.8 转子动力学简介,4.7 回转系统的模态分

2、析,多自由度系统指的是具有有限个自由度的系统。多自由度振动系统的分析与二自由度振动系统的分析，二者不存在本质的区别，但随着系统自由度数的增加，计算工作大为复杂化。因此，必须采用相应的数学工具。所以，矩阵就成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。,第4章 多自由度系统的振动,工程振动基础,4.1 多自由度系统的数学描述,第4章 多自由度系统的振动,工程振动基础,4.1 多自由度系统的数学描述,4.1.1 用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程,应用图4-1的系统说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。,图4-1 三自由度振系,所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。如在图4-1系统中，设在

3、质量m3 上沿x3 方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为,按柔度系数的定义，就有, 柔度矩阵,4.1 多自由度系统的数学描述,同理，一个n自由度的系统一共有n个独立坐标，对应于每个单位力就有n个柔度系数；总共有n个单位力，故系统总共有nn 个柔度系数rij (i , j=1, 2, 3, , n) 。它们组成一个柔度矩阵R,（4-1）,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-1 三自由度振系,方程（4-2）称为位移方程。注意： “力”可以是力或是力偶；而“位移”可以是线位移或是角位移，等等。,假设在系统的各个坐标上分别作用有力,则由叠加原理，系统的各个位移xi可表示为,写成矩阵表达式，有,

4、（4-2）,4.1 多自由度系统的数学描述,其中x与f分别代表位移列阵和力列阵：,4.1 多自由度系统的数学描述,（4-2）,例4-1 设有集中质量 与 以及长为 与 的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。取质量 与 的水平位置 与 作为坐标，求系统的柔度矩阵。,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-2 复合摆的微振动,解：先仅在m1 上作用一单位水平力。由静力平衡条件可得,因而有,再仅在m2上作用一单位水平力。由静力平衡条件有,考虑,可得,4.1 多自由度系统的数学描述,故系统的柔度矩阵为,4.1 多自由度系统的数学描述, 刚度矩阵,所谓刚度是指产生单位

5、“位移”所需的各个外加“力”。,例如在图4-1系统中，设有,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-1 三自由度振系,这时，弹簧k1 与 k2没有变形，而弹簧k3 伸长了单位长度，作用于质量m2上的弹簧力为k3（向右为正），而作用于质量m3上的弹簧力为-k3（向左为负）。,4.1 多自由度系统的数学描述,所以要维持系统静力平衡，必须在质量m2上外加力-k3（向左为负），并且在质量 m3上外加力 k3（向右为正）。而在质量m1上则不需加任何外力。,类似的，可求得,由此得系统的刚度矩阵K 为,4.1 多自由度系统的数学描述,按刚度系数的定义，有,对于n 自由度系统，设各个质量的位移为 xj ( j=

6、1, 2, 3, , n) 则由叠加原理，各个质量mi 上所需的外力fi (i=1, 2, 3, , n)可表示为,或写成矩阵形式，有,（4-4）,式（4-4）称为力方程。,4.1 多自由度系统的数学描述,例4-2 仍考察例4-1的复合摆，如图4-3。求系统的刚度矩阵。,解：先令,于是有,由下摆的平衡条件，有,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-3 复合摆的微振动,再由全摆的平衡条件有,于是有,再令 ，按类似的做法，可得,故系统的刚度矩阵为,4.1 多自由度系统的数学描述,由例4-1和例4-2，很容易验证柔度矩阵R与刚度矩阵K是互逆的。即,当知道了刚度矩阵后，系统的弹性势能可表示为,或,4.

7、1 多自由度系统的数学描述, 质量矩阵,即,这儿的mi 可以是质量或是转动惯量，而与后者相应的位移就是角位移。,根据达朗伯原理，只要在系统中加上惯性力，那么动力学问题就可以按静力学问题来处理。特别当系统进行自由振动时，作用于各个质量上的外加“力”就只有“惯性力”。,4.1 多自由度系统的数学描述,当系统进行简谐振动 时，,故有,（4-5）,式中 M 称为质量矩阵。对于集中参数系统，其质量矩阵通常是对角阵。当然，质量矩阵并不一定都是对角阵。,有,4.1 多自由度系统的数学描述,例4-3 设有图4-4所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连接的三个质量 m1，m2 ，m3所组成，其中 m1与 m2分别用

8、弹簧 k1与 k2 连于固定支点。刚杆本身的质量可略去不计。再设三个质量都只能沿 x1，x2，x3方向运动。求系统的质量矩阵。,解：由题可知，系统的位移中只有两个是独立的。,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-4 弹簧质量系统,取 作为独立坐标，容易其求得系统的刚度矩阵为,而系统的另一个坐标 为,这时，需要将作用于 上的惯性力转移到质量 与 上，可得作用于 与 上的外加力为,4.1 多自由度系统的数学描述,故得,注，本例中的质量矩阵不是对角阵，而是对称阵。一般情况下，质量矩阵总是对称阵。有 mij=mji 考虑到系统的动能T ，有,即有,4.1 多自由度系统的数学描述, 运动方程,（4-6）

9、,从柔度矩阵出发可以得到系统运动微分方程的另一个形式。,（4-7）,（4-6）与（4-7）式是完全等价的。,从系统本身求得刚度矩阵（或柔度矩阵）与质量矩阵后，就可以根据力方程（或位移方程）列出系统自由振动的运动方程,4.1 多自由度系统的数学描述,例4-4 图4-5（a）表示三个质量 的小球，固定在一张紧的弦上，各跨距相等，求系统质量在垂直方向的自由振动方程。,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-5微振动系统实例,解：根据柔度系数的定义，首先对m1 施加垂直的单位力，于是系统产生图4-5（b）所示的变形，这时假定弦的张力T 较大而质量振动位移较小，因此振动中弦的张力T保持不变。质量m1 的受

10、力平衡方程为,4.1 多自由度系统的数学描述,由于,因此有,a21，a31可按图4-5（b）的比例求得,所以,由于对称关系，当对m3 施加一铅垂方向的单位力时有,4.1 多自由度系统的数学描述,把这些系数写到矩阵中，可得,于是自由振动的运动方程为：,对m2 施加一铅垂方向的单位力时，它的变形见图4-5（c），由此得,4.1 多自由度系统的数学描述,对于一能量守恒的系统，系统的动能和势能的总和是不变的，因此，它们的总和对时间的导数等于零，即,式中： T 是系统的动能，它是系统广义速度的函数；U是系统的势能，它是系统广义坐标的函数。如下图4-6，使多自由度系统各质点mj 产生位移，则在x=xi处的

11、力为,（a）,4.1.2 拉格朗日方程及其应用,在许多情况下应用拉格朗日方程法建立多自由度系统的运动微分方程，更为方便。,4.1 多自由度系统的数学描述,设系统有n 个力 作用，则系统总势能为,（b）,把公式（a）代入（b）中，得,（c）,若用矩阵符号，上式可写成,若把 xi 改为更一般的广义坐标符号qi ，上式变为,（d）,4.1 多自由度系统的数学描述,上式就是用广义坐标q 和刚度矩阵K的二次型表示的系统势能表达式。 若以 表示质量mi (i =1, 2, , n) 的速度，T表示多自由度系统的动能,或写成矩阵形式,下面推导拉格朗日方程。对T 进行全微分,（e）,4.1 多自由度系统的数学

12、描述,将 对 求导，有,将上式乘以 并对 从 到 求和，有,（f）,比较（a）,（f）两式可知,（g）,对（g）进行一次微分，得,（h）,4.1 多自由度系统的数学描述,（h），（e）两式相减可得,根据守恒系统的原理 dT+dU = 0 , 有,（i）,因为n 个广义坐标是独立的，dqi不可能都等于零，因此必须使,（j）,4.1 多自由度系统的数学描述,当系统还作用着除有势力之外的附加力时, 外力 Qi 在dqi 上所作的功将是,令dW=d(T+U)，则可得,（4-8）,式（4-8）就是著名的拉格朗日方程。,4.1 多自由度系统的数学描述,（4-9）,式中Qi 是除有势力之外的所有外力，其中包

13、括阻尼力，阻尼力可表示为,例4-5 如下图4-6表示三个数学摆串接在一起,试用拉格朗日方程法建立系统的运动微分方程。,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-6 三数学摆串接模型,解：三个摆的瞬时位置用三个相对于铅垂线的夹角 表示。用速度合成法把三个摆球的绝对运动速度图解于图4-7。,根据此图，各速度分别为,4.1 多自由度系统的数学描述,图4-7 摆球的速度合成图,4.1 多自由度系统的数学描述,系统动能,系统势能,令 ，利用拉格朗日方程，可得相应这三个广义坐标的运动方程,4.1 多自由度系统的数学描述,第4章 多自由度系统的振动,工程振动基础,4.2 多自由度系统的 固有频率与主振型,4.2

14、 多自由度系统的固有频率与主振型,4.2.1 固有频率和主振型,考虑到系统的主振动是简谐振动，可设它为,（4-10）,将它分别代入（4-5）与（4-7）式，可得如下主振型方程,（4-11）,以及,（4-12）,多自由度系统的自由振动微分方程,以及,引入系统矩阵的概念，对（4-11）式两端乘以 ，可得,（4-13）,设系统矩阵S 为,（4-14）,且令 ，则主振型方程（4-11）可化为,（4-15）,再设另一个形式的系统矩阵 为,（4-16）,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,这样，主振型方程（4-15）与（4-17）就有着相同的形式。,利用矩阵乘积的求逆公式，可知上述两种系统矩阵之间有着

15、互逆关系,（4-17）,方程（4-15）可改写为,（4-18）,它有非零解的条件为,（4-19）,且令 ，则主振型方程（4-12）可化为,（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,对它展开的结果，可得一个关于的n 次代数方程,（4-20）,它的 n 个根 称为系统的特征根，亦称矩阵S 的特征值。特征值i 与系统固有频率i 之间有如下关系,（4-21）,由正定与半正定的条件，对于任何非零的X ，有,（4-22）,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,现对系统主振型方程,两端前乘以XT ，得,将各个特征值i 代入式（4-18），可求得各个相应的Xi ，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵S 的特征矢量。,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,如果令B=S-I ，那么系统的特征矢量也可以从B的伴随矩阵adjBi 得出。事实上，按逆阵的表示，有,上式前乘以BB ，得,当 = i 时，即有,上式与（4-18）式相比较，可知adjBi 中各列与X 充其量只相差一个常数乘子。,4.2 多自由度系统的固有频率与主振型,例4-6 设图4-1所示三自由度系统中，有