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1、ThemeGallery PowerTemplate,5-4 拉普拉斯逆变换,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,拉普拉斯逆变换,拉普拉斯逆变换的计算,在LTI系统的微分方程求解问题中，拉普拉斯变换域方法会出现关于s的多项式之比的形式。针对这种情况，通过部分分式展开，将 表示成已知基本函数的各个部分分式之和，即可获得拉普拉斯逆变换。,部分分式展开法适用于严格真有理函数,，即,（5-4-1）,其中 。,5-4 拉普拉斯逆变换,通常情况下，物理可实现的信号和系统的拉普拉斯变换是严格真有理函数。如果,是非有理函数，也就是 ，,则需用长除法将,展成,的阶次低于分母多项式的阶次，是一个严格真有
2、理,的形式，其中,函数。因此长除法从一个有理函数中提取严格真的部分（即可以部分分式展开的部分），再用部分分式展开法确定 的逆变换。,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-4-2）,（5-4-3）,由于已知,时刻的冲激函数及其导数为零，根据,的结论以及微分性质（式（5-3-16），,中求和项,的各项的逆变换：,（5-4-4）,表示单位冲激函数,的第i阶导数。,就可以给出,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-3-16）,时域信号包含一个 信号。,设函数,的拉普拉斯变换为,这是一个非严格真的有理分式。,对,作长除，得到,式中等式右边第一项是常数，它的拉普拉斯逆变换是,；等式右边第二项则成为一个真有理式。因此，当,
3、中有,时，映射到时域出现了一个冲激，即,注意：长除运算也可以在MATLAB中利用它的函数,deconv来实现。,5-4 拉普拉斯逆变换,例5-4-1,式中 ，是严格真有理分式。在对式（5-4-5） 进行部分,现将式（5-4-3）中的分母多项式分解为极点因式 连乘的形式，即,（5-4-5）,分式展开的过程中根据极点的取值又需要分为几种 情况考虑。,5-4 拉普拉斯逆变换,情况1：实数单极点,的极点,是实数单极点，即,假设函数,则用部分分式法展开,，得到,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-4-6）,式中系数,可以用留数法确定。但如果直接用亥维赛,计算系数,则更为简单。如果用,的等式两边并求,的极限即可
4、证明这个公式。,（5-4-7）,乘式（5-4-6）,5-4 拉普拉斯逆变换,系数公式,考虑到单边指数信号的拉普拉斯变换对 ，,则可发现式（5-4-6）的右边每一项均表示一个时域中,的指数信号，即,因此，,的拉普拉斯逆变换就是,式中括号外面的,是对,进行单边约束的，,强调 仅在,时成立。,（5-4-8）,5-4 拉普拉斯逆变换,设函数,的拉普拉斯变换为,试用部分分式展开法求逆变换。,解：根据式（5-4-6），它的部分分式展开是,其中系数则由系数公式（5-4-7）确定，即,5-4 拉普拉斯逆变换,例5-4-2,因此,上式的逆变换显然为,5-4 拉普拉斯逆变换,有 重实数极点和,情况2：实数多重极点
5、,个单实数极点，即,则包含重根（极点）的,经部分分式展开后为,假设函数,（5-4-9）,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-4-7）可以直接计算。至于对应多重极点 的系数,上式中系数,对应于单实数极点，故由公式,，同样可由亥维赛系数公式计算，即,（5-4-10）,一旦得到了式（5-4-9）给出 的展开式，则可以通过,查询拉普拉斯变换表求出,的逆变换。,5-4 拉普拉斯逆变换,因为通过查表知,故可求出,的拉普拉斯逆变换为,（5-4-12）,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-4-11）,有一个三重极点,和一个单极点,，即,试用部分分式展开法求逆变换。,解：根据式（5-4-9），它的部分分式展开是,其中三重极
6、点,的系数由式(5-4-10)计算，有,5-4 拉普拉斯逆变换,例5-4-3,5-4 拉普拉斯逆变换,而系数,，因为是一个单极点，则由公式(5-4-7),因此,故其逆变换由式（5-4-12）可知为,5-4 拉普拉斯逆变换,计算，即,的分母多项式中包含有二次因子 。,情况3：复数共轭对极点,为,（5-4-13）,假设函数,如果该二次因子有一对共轭复数根（即有一对共轭复数极点），最简单的方法是不要将该二次因子进行因式分解，以避免出现复数根（极点对）。例如，假设,式中,和,。,5-4 拉普拉斯逆变换,如果,有一对共轭复数根，则可将,展开成如下的分项分式形式：,对式中分项分式的第二项，一般可以利用完全
7、平方法将,等价为,的形式，即,还可以写成,5-4 拉普拉斯逆变换,（5-4-14）,由于已知,和,则显然,信号，而第二项对应于指数衰减正弦信号。因此,（5-4-15）,中的第一项对应于时域中的指数衰减余弦,的拉普拉斯逆变换为,5-4 拉普拉斯逆变换,的拉普拉斯逆变换。,试求,解：注意到,，因此有,根据式（5-4-14），可得,5-4 拉普拉斯逆变换,例5-4-4,的拉普拉斯变换,为,利用二次因子的部分分式展开有,（5-4-16）,考虑在原点有一个单极点和一对复数共轭极点的拉普拉斯逆变换的问题。,设函数,其中系数,由式（5-4-7）计算，即,5-4 拉普拉斯逆变换,讨论题 5-4-5,确定系数c
8、和d的方法有3种，即 在式（5-4-16）中代入s的特殊值； 将式（5-4-16）右端两项通分，比较等式两端中分子同次幂的系数并令其相等； 将,减去,项即可得到式（5-4-16）右端的第二项。,本例采用第3种方法，即将,减去,项即可得到,5-4 拉普拉斯逆变换,等式左边通分后得到,比较系数，有,因此,5-4 拉普拉斯逆变换,由式（5-4-15）即可求出,的逆变换为,5-4 拉普拉斯逆变换,对于含多重复数共轭极点的拉普拉斯逆变换，一般是综合运用情况2和3中的方法。但是，困难在于计算相应部分的部分分式展开系数。因此，工程应用中应该利用MATLAB进行部分分式的展开及其系数计算。,情况4：多重复数共
9、轭极点,5-4 拉普拉斯逆变换,情况5：包含时延成分,上式中复指数项,定义了,个单位的时延。显然，包含,的拉普拉斯逆变换,，然后对信号,延迟,个单位。,根据拉普拉斯变换的时延性质，如果信号包含时延成份， 则其拉普拉斯变换对为,时延的信号的拉普拉斯变换不是有理函数，因而也就不能用有理部分分式来分解。在这种情况下，可以先求出,5-4 拉普拉斯逆变换,试求 的拉普拉斯逆变换。,解：在例5-4-3中已经得到函数,的拉普拉斯逆变换，,对上式应用拉普拉斯变换的时延性质，即可得到,的拉普拉斯变换对,5-4 拉普拉斯逆变换,例 5-4-6,即,注解：以上几种情况基本涵盖了LTI系统的拉普拉斯逆变换的计算问题。但是，如果 不属于上面讨论,过的5种类型，则只能根据逆变换的定义式直接求复变量积分或者围线积分。,5-4 拉普拉斯逆变换,
