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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-9 傅立叶变换的性质,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,傅立叶变换的性质,冲激信号,内容安排,4-10-1 尺度运算性质,4-10-2 卷积性质,4-10-3 LTI性质,4-10-4 调制性质,4-10-5,面积、能量和对偶性质,4-10 傅立叶变换的性质-引子,傅立叶变换本质上是积分式的计算，因此积分运算的许多性质在傅立叶变换的计算中也将成立。应用这些性质，本节将讨论工程中常见信号的傅立叶变换。 根据傅立叶变换的定义式，即,可以直接求出一些基本信号的傅立叶变换。现考虑下面的例题。,（4-10-1）,4-10 傅立叶变换的
2、性质-引子,的性质直接得到,式（4-10-2）表明，单位冲激信号,的傅立叶变换有一个极其,，相应的傅立叶变换恒等于常数1。这个结果揭示了这样一个事实，即时域中一个无穷小宽度（带宽）的信号在频域中将有一个无穷大的宽度（带宽）。对于这个事实的一个解释，不妨注意一下大气中的闪电现象。,定义式以及,简单的形式，即在频域中，对于所有,（4-10-2）,4-10 傅立叶变换的性质-引子,作为最接近,的一个自然信号，一个闪电信号的冲激往往在无线电接收机中所有频段上引起噪声。单位冲激信号,和它的傅立叶变,换如图4-10-1所示。,4-10 傅立叶变换的性质-引子,对于a 0，则有,可积条件，即,故其傅立叶变换
3、不存在。,（4-10-3）,4-10 傅立叶变换的性质-引子,将上式转换成极坐标形式，可分别求出,的幅度谱和相位谱,和,如下,需要指出的是，根据定义式得到的傅立叶变换通常是复函数，它,的函数。容易证明偶信号（满足x(-t)=x(t)）,的实函数，而奇信号（满足x(t)=-x(-t)）的傅立叶,的纯虚函数。在讨论题4-10-1中，单位冲激信号,可以视,的实部和虚部都是角频率,的傅立叶变换是,变换是,为是一个偶函数，所以它的傅立叶变换是实数。,（4-10-4）,（4-10-5）,4-10 傅立叶变换的性质-引子,另外，当试图求一些常用的基本信号（如正弦、余弦和单位阶跃）的傅立叶变换时，容易发现这些
4、信号并不满足绝对可积性条件，因此它们的傅立叶变换不存在。但是，虽然这些信号的傅立叶变换在通常意义上不存在，但是它们的傅立叶变换在广义函数的意义上是存在的。正弦、余弦、单位阶跃和某些其它常用信号的傅立叶变换可以根据频域脉冲信号 得到。,4-10 傅立叶变换的性质-引子,以下部分将介绍傅立叶变换的15个主要性质。这些性质按其特性被分成几大类，掌握这些性质对于学习电气工程、计算机、机械和生物工程等学科是绝对必要的。 为讨论性质方便起见，设信号,与其傅立叶变换,构成一个,傅立叶变换对：,变换对。,（4-10-6）,（4-10-7）,4-10-1 尺度运算性质,若设信号有傅立叶变换对,，或者,，则对,或
5、,证明：首先假设 a0，对信号 x(at) 求傅立叶变换，得到,（1）时间尺度变换,任意正实数 a，有,（4-10-9）,（4-10-8）,4-10-1 尺度运算性质,对上式右端积分进行变量代换，令,，代入上式有,其次设 a0，则有 at=-|a|t，在,的积分中做变量代换,，可得,4-10-1 尺度运算性质,其中，最后一步的结果是基于 a0 时，-|a|=a。作为尺度变换的 特例，当 a= -1时，即可直接得到时间反转性质，即,或,（4-10-11）,（4-10-10）,4-10-1 尺度运算性质,与时间尺度变换的证明类似，连续时间傅立叶变换的频率尺度,或,时间尺度变换性质和频率尺度变换性质
6、的对于信号的一个显著 效应是，在某个域内的压缩必然导致另一个域内的扩展，反之亦 然。,（2）频率尺度变换,变换性质为,（4-10-13）,（4-10-12）,4-10-1 尺度运算性质,讨论题4-10-3 函数,有一个特性，即它与其 f 型傅立叶变换在形式上恰好相同，即,若令,并进行时间尺度变换，则相应的傅立叶变换对为,图4-10-2分别给出了 t 为,时，变换对的时域及频域波形。,（4-10-16）,（4-10-15）,（4-10-14）,4-10-1 尺度运算性质,4-10-1 尺度运算性质,如图所见，时域变换,是时间扩展运算，它在频域所引起的变化无疑是频率的压缩（乘一个幅度系数）。当该时
7、域信号 x(t) 经过扩展后，随着时间从坐标原点向,两边延伸，信号幅度,时，这个幅度将趋于一个常数。信号在时域的这种变化，反映在频域中就是当 x(t)以某个系数进行扩展时，它的傅立叶变换在频域中被压缩并且幅度以相同的系数增大。在,的极限情况下，它的傅立叶变换变成一个冲激，即,从1减小的速率趋于缓慢，当,（4-10-17）,4-10-1 尺度运算性质,这种在一个域内的压缩导致另一个域内的扩展的关系构成了傅立叶分析的不确定性原理。随着式（4-10-17）中,，时域信号的 脉冲宽度由窄变宽而频域函数则由宽变窄。极限情况下，信号将在 频域中 f=0 处变成一个（频域）沖激函数,，而在时域,内则成为幅值
8、恒等的常数，这时对信号无法进行时域定位。反之，若对信号进行时域无限压缩，则时域信号的脉冲宽度将收窄到 t=0 处的一个沖激，此时它的位置是精确确定的，不过这时它的傅立叶变换在区间,内其幅度恒为常数，因而对信号无法进行频域定位。,4-10-1 尺度运算性质,总之，对于任意信号 x(t)，若,，则 x(at)是 x(t)的时域压缩，,的频域压缩。物理意义上，时间尺度变换意味着短时 信号的带宽比长时信号的带宽宽，换句话说长时信号的带宽较窄。,叶变换,4-10-1 尺度运算性质,例4-10-4 试求矩形脉冲信号,解：因为已知,直接利用时间尺度性质，有,本例如果用傅立叶变换的积分定义求解，则首先需要给出
9、,的解析表达式，然后求积分。注意，,可用分段函数描述,的傅立叶变换。,4-10-1 尺度运算性质,即,其次利用傅立叶积分，得到,结果与运用时间尺度性质是一致的。,在信号与系统理论中需要经常处理在时间上被移动的信号。若,或,时移性,，或者,，则信号 x(t),设信号有傅立叶变换对,是 x(t)左右移动的通式。,（4-10-18）,（4-10-19）,4-10-1 尺度运算性质-时移,证明：对平移时间信号,求其傅立叶变换，有,对上式右端的积分进行变量代换，即令,，代入上式得,性质得证。 式（4-10-19）的证明过程类似，故省略。 时移性质表明，求一个平移信号的傅立叶变换，只需要用,乘原始信号的傅
10、立叶变换即可。,4-10-1 尺度运算性质-时移,例4-10-5 在例4-8-1中推导了宽度为 T 的矩形脉冲信号,的傅立叶变换。将该脉冲信号右移19个单位得到信号：,解：因为,，根据时移性质，有,试求其傅立叶变换。,4-10-1 尺度运算性质-时移,例4-10-6 求延迟正弦信号,对上式利用线性及时移性质，可得,注意，式中利用了单位沖激函数的抽样性质,的傅立叶变换,4-10-1 尺度运算性质-时移,讨论题4-10-7 考虑单边约束信号,针对具有这种形式的信号，运用时移性质时必须首先对其进行,的以下等价形式,上式表明信号 x(t) 等价于单边指数信号,经3个单位的延迟,。因此利用时移性质以及单
11、边指数信号的傅立叶,的傅立叶变换。,变形，以便得到,并且乘以常数,变换，得到,4-10-1 尺度运算性质-时移,或,这个性质有时也称为时间加权性质。令 n=1，则可知时域乘以,微分并乘 j 等价。,时间相乘（或频域微分）,t 与频域对,（4-10-21）,（4-10-20）,4-10-1 尺度运算性质-频域微分,证明：这个性质可以通过傅立叶变换的定义，并对等式两边关于,求导数来证明；即,4-10-1 尺度运算性质-频域微分,4-10-1 尺度运算性质-频域微分,，波形如图4-10-3 a)所示。试求其傅立,的傅立叶变换为,根据式（4-10-20）有,例4-10-8 设,解：已知,叶变换，并画出
12、幅度谱。,4-10-1 尺度运算性质-频域微分,幅度谱,如图4-10-3 b)所示。,4-10-1 尺度运算性质-频域微分,4-10-1 尺度运算性质-时间变换,时移性质和尺度变换性质结合即构成所谓的时间变换性质。现 综合考虑具有时移和尺度变换特性的信号,，则可以证明,或,其中 a 为时间尺度变换因子，,是延迟时间。,时间变换,（4-10-22）,（4-10-23）,4-10-2 卷积性质,任意两个连续时间信号的卷积定义为（式（2-8-20）,卷积性质指出，如果,，,或,，,，则两个时间函数卷积积分的傅立叶变换等于对应时间 函数傅立叶变换的乘积,或,两个函数的卷积运算是一个非常有意义的物理概念
13、，在谐波分析 和图像处理等许多技术领域都有重要应用。,时域卷积,即,（4-10-25）,（4-10-24）,4-10-2 卷积性质,或,证明：卷积性质可以用傅立叶变换的定义式来证明,交换积分顺序，得到,对上式方括号中的积分应用时移性质可得,时域卷积的重要意义在于，时域信号的复杂卷积运算可以方便,地转化为频域中的频谱的乘积运算。,（4-10-26）,4-10-2 卷积性质,例4-10-9 设信号,且 A0。试求出信号,解：因为,应用卷积性质，有,的傅立叶变换。,4-10-2 卷积性质,讨论题4-10-10 考虑一个LTI系统，它的输入和单位沖激响应,和,它们均为sinc函数。 通过第2章的讨论我
14、们已经知道，一个LTI系统的输入x(t)和输出y(t) 是通过下面的卷积积分建立关系的：,分别为,（4-10-27）,4-10-2 卷积性质,因此，这个系统的输出为,显然，上式积分不易计算。但若首先求出 x(t)和 h(t)的傅立叶变 换，再用卷积性质，则计算就得到很大简化。 根据例4-8-4，可知门宽为2T 的矩形脉冲的傅立叶变换对为,4-10-2 卷积性质,由此可分别求出 x(t) 和 h(t)的傅立叶变换，即,和,利用时域卷积性质，得到系统输出的傅立叶变换为,4-10-2 卷积性质,图4-10-4对上式的结果进行了图解说明。从图中可见，由于 x(t) 和 h(t)的傅立叶变换都是（频域）
15、门函数，故它们的乘积还是一个 门函数，只是这个门函数,的截止频率是门函数,和,中截止频率低的那一个。,图4-10-4 a) x(t)和h(t)的傅立叶变换; b),4-10-2 卷积性质,上述结果说明，本题的LTI系统实际上是一个带宽为,滤波器，它对输入信号的频谱进行了“滤波”。如果将,时域，则可求出系统的响应 y(t) 为,的低通,再变换回,频域卷积也称为时域相乘，因为它是时域卷积性质的对偶性质。 频域卷积说明在时域中两个信号乘积的傅立叶变换正比于在频域中 它们的傅立叶变换的卷积，即,频域卷积,（4-10-28）,4-10-2 卷积性质,或,证明：频域卷积性质的证明类似于时域卷积的证明。因为
16、由定义，,交换积分顺序并应用频移性质，有,式（4-10-28）或式（4-10-29）左端是时域中的一个信号乘以另 一个信号，这个过程可以理解为用一个信号去调制另一个信号的幅 度，因此两个信号的相乘运算也称为幅度调制。式（4-10-28）或式 （4-10-29）有时称为调制性质。,有,（4-10-29）,4-10-2 卷积性质,二维卷积在形式上与式（4-10-24）定义的一维卷积类似。定义积分,或,二维卷积定理,定理由下述傅立叶变换对确定,（4-10-30）,（4-10-32）,（4-10-31）,4-10-2 卷积性质,以及,或,二维卷积在图像处理中有重要的应用。比如图像常可以表示成,，它的边缘或者其它锐利的跳跃（如噪声）对 傅立叶变换的高频分量有较大的贡献，因此，通过衰减它的傅立 叶变换的高频分量，就可以实现对原始图像的平滑。而这种平滑 过程，本质上就是通过寻找或者设计一个二维频域函数,然后对,作逆傅立叶变换，从而达到对图像平滑的,灰度二元函数,效果。这个过程的基础就是二维卷积定理。,（4-10-34）,（4-10-33）,4-10
