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1、二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）重点，难点解析 1熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理:, 叫二项式系数（0rn）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别. 2掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. 对称性： 增减性和最大值:先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为；n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为. 例题分析: 一、与通项有关的一些问题 例1在的展开式中，指出1）第4项的二项式系数2）第4项的系数 3）求常数项 解:展开式的通项为展开式中的第r+1项. 1），二项式系数为； 2）由1
2、）知项的系数为； 3）令6-3r=0, r=2, 常数项为. 例2若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析:通项为, 前三项的系数为，且成等差， 即 解得:n=8. 从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 例31）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 解:1）通项， 令6-2r=0, r=3, 常数项为. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240. 例4(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2
3、的系数为_. 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为. 例5(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的展开式中x3的系数为_. 分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=, 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为. 二、有关二项式系数的问题. 例6(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=_. 分析:二项式系数最大的为第5项， 解得:x=1或. 例7的展开式
4、中系数最大的项为第_项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大， 则 解得:， r=7,因而第8项系数最大. 三、赋值法: 例8已知 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=
5、-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(*)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结:求展开式的系数和只需令x=1可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例9已知, 其中b0+b1+b2+bn=62, 则n=_. 分析:令x=1，则 , 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5.
6、 例10求的展开式中有理项系数的和. 分析:研究其通项. 显然当r=2k(kZ)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+an 令t=-1，即1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和. 四、逆用公式 例11求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例12求值: 原式= 五、应用问题 例13求证:32n+2-8n-9能被64整除. 证明: 能被64整除. 例149192除以100的余数为_. 分析:9192=(90+1)
7、92 被9192100除的余数为81. 小结:若将9192整理成(100-9)92 随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大. 例15求0.9983的近似值（精确到0.001) 解: 窗体顶端选择题1(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（） A、B、C、D、 窗体底端窗体顶端2在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（ ） A、-297B、-252C、297D、207 窗体底端窗体顶端3如果展开式(1+x)2(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（） A、2 B、3C、4D、5 窗体底端窗体顶端4若展开式中第6项系数最大，则不含x的
8、项是（） A、210 B、120 C、461 D、416 窗体底端窗体顶端5在的展开式中，系数是有理数的项共有（）项 A、4 B、5 C、6 D、7 窗体底端窗体顶端6f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中各项系数之和等于（） A、211-2 B、211-1C、211 D、211+1 窗体底端答案与解析 答案：1.C2.D3.C4.A5.A6.A解析：1答案：C.解法：，s 含ab的项为r=8的项，即第9项，系数为. 2答案D. 3答案：C.解法：(1+x)2(1-x+x2)k =(1+2x+x2)1+(x2-x)k,其中x2系数必与1+(x2-x)k中x0，x1, x2系数有关.又 (1-x+x2)k的通项是：故x0的系数为，x的系数为，x2的系数为，即有 k2-3k-4=0 k1=4, k2=-1 (舍). 4答案：A.解法：n=10, x3(10-x)x-2r=1,r=6 为不含x的项. 5答案：A解法： ， 为有理数，即为整数，则r为2,8,14,20,故有4项. 6答案：A.解法：取x=1， 9
