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1、（2014济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出对称点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A是否在抛物线上本问关键在于求出A的坐标如答图所示，作辅助线，构造一对相似
2、三角形RtAEARtOAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A的坐标；（3）本问为存在型问题解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解解答：解：（1）y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，解得抛物线的解析式为y=x2x（2）如答图所示，过点A作AEx轴于E，AA与OC交于点D，点C在直线y=2x上，C（5，10）点A和A关于直线y=2x对称，OCAA，AD=ADOA=5，AC=10，OC=SOAC=OCAD=OAAC，AD=AA=，在RtA
3、EA和RtOAC中，AAE+AAC=90，ACD+AAC=90，AAE=ACD又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC，即AE=4，AE=8OE=AEOA=3点A的坐标为（3，4），当x=3时，y=（3）2+3=4所以，点A在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA的解析式为y=kx+b，则，解得 直线CA的解析式为y=x+（9分）设点P的坐标为（x，x2x），则点M为（x，x+）PMAC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC又点M在点P的上方，（x+）（x2x）=10解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=当点P运动到（2，）时，四边形PACM是平行四边形点评：本题
4、是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问的要点是求对称点A的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解（2014贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写
5、出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P，求出P的坐标，并判断P是否在该抛物线上第1题图分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点由SAPE=PEyP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值（3）由最值时，P为（，3），则E与C重合画示意图，P过作PMy轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P坐标判断P是否在该抛物线上，将xP坐
6、标代入解析式，判断是否为yP即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，解得 ，解析式为y=x22x+3x22x+3=（x+1）2+4， 抛物线顶点坐标D为（1，4）（2）A（3，0），D（1，4），设AD为解析式为y=kx+b，有 ，解得 ，AD解析式：y=2x+6，P在AD上，P（x，2x+6），SAPE=PEyP=（x）（2x+6）=x23x（3x1），当x=时，S取最大值（3）如图1，设PF与y轴交于点N，过P作PMy轴于点M，PEF沿EF翻折得PEF，且P（，3），PFE=PFE，PF=PF=3，PE=PE=，PFy轴，PFE=FE
7、N，PFE=PFE，FEN=PFE，EN=FN，设EN=m，则FN=m，PN=3m在RtPEN中，（3m）2+（）2=m2，m=SPEN=PNPE=ENPM，PM=在RtEMP中，EM=，OM=EOEM=，P（，）当x=时，y=（）22+3=，点P不在该抛物线上点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固（2014攀枝花，第24题12分）如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（6，0），且ACD=90（1）请直接写出A、B两
8、点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）记ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围分析：（1）令y=ax28ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；（2）由ACD=90可知ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；（3）PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得
9、最小值时，PAC的周长最小设点C关于对称轴的对称点为C，连接AC与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解解答：解：（1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0）（2）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令x=0，得y=12a，C（0，12a），OC=12a在RtCOD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在RtCOD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a
10、）2+22=144a2+4；在RtCOD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=（舍去），抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x=4由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C（8，），连接AC，与对称轴交于点P，则点P为所求此时PAC周长最小，最小值为AC+AC设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得， y=x当x=4时，y=，P（4，）过点C作CEx轴于点E，则CE=，AE=6，在RtACE中，由勾股定理得：AC=4；在RtAOC中，由勾股定理得：AC=4AC+AC=4+4存在满足条件
11、的点P，点P坐标为（4，），PAC周长的最小值为4+4（4）当6t0时，如答图41所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=（6+t）S=SDGH=DHGH=（6+t）（6+t）=t2+2t+6；当0t2时，如答图42所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+（GH+OC）OH=62+（t+2+2）t=t2+2t+6S=点评：本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的
12、计算（2014山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB=90，OA=，抛物线y=ax2axa经过点B（2，），与y轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB求得OC的值，通过OCDFCB得出DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果解答：（1）把点B的坐标代入抛物线
13、的表达式，得=a222aa，解得a=，抛物线的表达式为y=x2x（2）连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设OC=m，则CF=2m，则有=，解得m=m=1，OC=OF=1，当x=0时y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点B、C、D在同一直线上，点B与点D关于直线AC对称，点B关于直线AC的对称点在抛物线上（3）过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得x=2或x=2，当x=2时y=x+=（2）+=，点E的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握(2014年湖北咸宁23（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【探究】（1）填空：当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图2，已知线段
