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1、,自动控制理论,浙江大学控制科学与工程学系,第三章 微分方程的解,1,2,第三章要点,绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解,时间响应性能指标,二阶系统暂态 时间响应性能指标,二阶系统暂态,系统关于单位阶跃输入的响应通常用来评价系统的响应特性,二阶系统,时间响应性能指标,4,单位阶跃输入,(*),对应于式(*)的响应曲线族如图所示，其中横坐标是无量纲变量 nt,曲线形状随阻尼比 变化而变化,二阶系统暂态,时间响应性能指标,5,阶跃输入作用下的二阶系统暂态响应,脉冲函数是阶跃函数的微分，因此，脉冲输入作用下的响应函数也是阶跃输入作
2、用下的响应函数的微分,二阶系统暂态,时间响应性能指标,6,脉冲输入作用下的二阶系统暂态响应,to,最大偏离量：Mp 峰值时间：tp 上升时间：tr，to 调节时间：ts, 1时，系统没有最大偏离量 1时，系统在稳态值附近振荡,二阶系统暂态,时间响应性能指标,7,欠阻尼系统：应用 0-100% 上升时间 to 过阻尼系统：应用 10-90% 上升时间 tr,最大偏离量,控制系统阶跃响应,上升时间,峰值时间,调节时间,稳态误差,性能指标通常通过系统的阶跃响应来定义。系统暂态响应可以通过实际响应跟踪期望响应的快速性和阻尼程度刻画。 响应的快速性可以利用上升时间和峰值时间来衡量。 实际响应与期望响应的
3、阻尼程度可以利用最大偏离量和调节时间（回复时间，过渡过程时间）来衡量。 利用最大偏离量和期望响应，可以计算最大偏离量关于期望响应的百分数，称为超调量（最大超调量，百分比超调量）。,时间响应性能指标,时间响应性能指标,8,为了比较不同系统的响应，必须使各系统从标准化的初始条件开始运动。 大多数标准化初始条件是系统静止状态。 确定了标准化初始条件后，就可以比较不同系统的响应特性（如最大偏离量、调节时间等）了。,时间响应性能指标,时间响应性能指标,9,峰值时间仅仅是阻尼振荡频率d的函数（ ）,时间响应性能指标,时间响应性能指标,10,上式表明，峰值时间 tp与阻尼振荡频率 d 成反比。当 n一定,
4、越小，tp也越小（响应就越快）。,时间响应性能指标 ：峰值时间,时间响应性能指标,11,时间响应性能指标 ：上升时间,上升时间：响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间（过阻尼系统）；或响应从零第一次上升到终值所需的时间（欠阻尼系统） 。,考虑欠阻尼系统,根据定义，令,其中，,时间响应性能指标,12,上升时间的确切解析表达式难以计算，我们通常使用线性近似表达式进行计算,注意：对于取值 ，我们还可以利用下面的表达式来计算上升时间,由前述公式可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当 一定， n必须加大；若n为固定值，则 越小， tr也越小。,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：上升时间,
5、13,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：上升时间,14,实际上升时间,线性近似,时间响应性能指标 ：调节时间,调节时间：响应到达并保持在终值 （ ）内所需的最短时间。,我们考察误差表达式,考虑到系统时间响应曲线总是在包络线的两条分支之间变化,时间响应性能指标,15,在上面的近似公式中，调节时间仅仅取决于复数共轭极点的实部,等调节时间线,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：调节时间,16,时间响应性能指标 ：超调量,超调量：响应的最大偏离量与终值的差同终值的比。,时间响应性能指标,17,等超调量线，仅仅取决于阻尼比 ,由上式可见，最大百分比超调量完全由 决定， 越小，超调量越大。当 =时，
6、 %= 100%，当 =时， % =。 与 的关系曲线见图。,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：超调量,18,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：超调量,19,稳态误差实际上不是系统暂态响应的动态指标。但是，它是衡量控制系统稳态性能的重要度量。,时间响应性能指标 ：稳态误差,其中，GE(s) 是误差传递函数 注意，只有稳定系统才有误差，这是一个稳态指标,时间响应性能指标,其中，r(t) 是输入，y(t) 是输出,20,对于不包含零点的二阶系统，我们可以得到如下的精确公式,我们还可以得到如下的近似公式,在过程控制中，经常还会用到一个指标：衰减比n它是指同方向过渡过程曲线上的相邻两个波峰之比
7、.,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：小结,21,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：小结,22,参数选择,根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求需要折中。总结性能指标与和n的关系如下： (1) 当n一定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少 ts则应增大n值，而且值有一定范围，不能过大。 (2) 增大n ，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量只由决定, 越小， 越大。所以，一般是先根据 的要求选择值，在实际系统中， 值一般在0.50.8之间.,时间响应性能指标,23,从控制系统设计目标来说，峰值时间与超调量之间具有相互矛盾的关系，因此在设计的时候要考虑到两者之间的折中
8、。,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：小结,24,二阶系统的百分比超调量、归 一化峰值时间与阻尼比的关系,百分比超调量,阻尼比,时间响应性能指标,时间响应性能指标 ：小结,25,阶跃响应,幅值,时间响应性能指标 ：小结,时间响应性能指标,26,幅值,阶跃响应,例1: 参数选择,选择增益 K 和参数 p ，使得百分比超调量小于 5%，调节时间（考虑 2% 误差）小于 4 秒。,时间响应性能指标,解：,27,R(s),Y(s),时间响应性能指标,例1: 参数选择,28,闭环系统特征根,例 2: 玩具遥控汽车反馈系统,在 s 平面上，确定传递函数极点的允许域，并确定参数 的值，使得系统时间响应性
9、能指标满足如下要求,时间响应性能指标,M,29,我们首先根据超调量的精确公式计算,选择 得到,例 2: 玩具遥控汽车反馈系统,然后，利用近似计算公式 （后者利用 得到）,时间响应性能指标,M,30,例 3：问题,（1997年考研题)设某一单位反馈的二阶系统的阶跃响应曲线如图示，试确定此该系统的开环传递函数。提示：,时间响应性能指标,31,由图直接可得：,故：系统开环传递函数：,时间响应性能指标,例 3：解,32,时间响应性能指标,例 4,解：由已知条件,解出：,又因：,故,33,到目前为止，我们所考虑的二阶系统都只包含极点（没有输入变量的微分项），即简单二阶系统。当系统同时包含极点和零点时，系
10、统的动态特性将会如何？,系统的暂态（动态）,二阶系统动态,34,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,35,系统极点即特征方程的根为,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,36,其中， 是无量纲的阻尼比， 是系统的自然频率。 零点在,比较：二阶系统动态,质量-弹簧-阻尼系统,阻尼比,其中， 自然频率,特征方程的根为,系统的暂态（动态）,37,由于系统具有复数共轭极点，部分分式展开式的拉普拉斯变换为,特征方程根处的留数为,共轭复数极点,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,38,系统动态响应为,共轭复数极点,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,39,复数共轭极点的特殊情况。在 y(t)
11、 中代入 (b=0, 无阻尼) ，得到等幅振荡响应,纯虚数极点,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,40,实极点,相应的常数为,系统时间响应为,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,41,实极点,对于不同实极点情况，,可以得到过阻尼响应,系统的暂态（动态）,具有零点的二阶系统,42,具有零点的二阶系统,重实极点,相应的常数为,系统时间响应为,系统的暂态（动态）,43,具有零点的二阶系统：小结,Y(s) 零极点在 S 平面的分布图 =0，特征方程有纯虚根，系统响应为等幅振荡响应 1，特征方程有不等实根，系统响应为过阻尼响应,系统的暂态（动态）,44,对于实际物理世界中更常见的高阶系统，如何
12、得到它们的动态特性？,可以有三种方法： 列写 n 阶微分方程，然后直接求取微分方程的解 利用二阶系统近似高阶系统 将 n 阶系统转换为状态方程然后求解状态方程,系统的暂态（动态）,更高阶系统动态,45,高阶系统动态：时间响应,例 1:,分析单位阶跃函数输入作用下系统的暂态响应,解：,显然，这是过阻尼响应,系统的暂态（动态）,46,高阶系统动态：主导极点,例 2,分析单位阶跃函数输入作用下系统的暂态响应,解：,第三种方法将在后面课程中详细讨论,主导极点,系统的暂态（动态）,47,高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由系统极点的位置决定，极点在S平面左半部离虚轴越远，相应的分量衰减越快，对系统的影响越
13、小。 各分量所对应的系数取决于系数的零、极点分布。 (1) 当某极点靠近零点而远离其他极点和原点，则相应的系数越小，该暂态分量的影响就小。 (2) 若一对零极点互相很接近，则在输出y(t)中与该极点对应的分量就几乎被抵消。 (3) 若某极点远离零点，越接近其他极点与原点，则相应的系数就越大，该暂态分量的影响也就越大。 系统的零、极点共同决定了系统暂态响应曲线的形状。 对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，此时高阶系统就可用低阶系统来近似估计。,系统的暂态（动态）,关于高阶系统（考虑稳定系统的拉氏反变换求系数）,48,关于高阶系统（主导极点的概念）,若高阶系统中距离
14、虚轴最近的极点，其实数部分为其他极点的五分之一（1/5）或更小，并且附近又没有零点，则可认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）决定，因为这一分量衰减最慢。这种对系统暂态响应起主要作用的极点称为系统的主导极点。一般情况下，高阶系统具有振荡性，故主导极点通常是共轭复数极点。所以，高阶系统常当作二阶系统来分析，相应的性能指标都可按二阶系统近似估计。 但是，当不满足上述条件时，不能随意地忽视零极点对系统动态性能的影响。,系统的暂态（动态）,49,高阶系统动态,例 3：第三个极点和零点对二阶系统的影响,系统的暂态（动态）,讨论分别忽略实极点、零点、零极点三种情况下的时域性能指标，以加深了解主导极点
15、的概念。,50,例 3：第三个极点和零点对二阶系统的影响,我们首先忽略实极点-6.25，可得 于是可以得到 ， 进一步可以求得，百分比超调量为55%，在考虑2%误差的情况下，调节时间为 利用计算机仿真可以得到，实际的百分比超调量为38%，调节时间为1.6秒 因此，第三个极点的作用是，减少超调量并增加调节时间,高阶系统动态,例 3：第三个极点和零点对二阶系统的影响,系统的暂态（动态）,（2）忽略实零点-2.5情况,超调量,调节时间,实际情况,52,高阶系统动态,例 3：第三个极点和零点对二阶系统的影响,系统的暂态（动态）,（3）同时忽略实数零极点情况,超调量,调节时间,实际情况,53,关于高阶系统（主导极点的概念）,因此，在不能应用主导极点概念分析系统时，则不能忽略距离较近的零、极点的影响（如例3） 。一个不能忽略的零点对系统的影响是使超调量加大，响应速度加快，这是由于零点具有微分的作用；一个不能忽略的极点对系统的影响是使超调量减小，调整时间增加，这是由于极点的滤波作用（或称阻尼作用）。,系统的暂态（动态）,54,
