《初等数学 第2版 教学课件 作者 薛吉伟 第8章 圆锥曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数学 第2版 教学课件 作者 薛吉伟 第8章 圆锥曲线（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8章 圆锥曲线【学习目标】 1、了解椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和图象；2培养学生形数结合的能力、解决简单实际问题的能力和运算能力8.1 椭圆1. 椭圆的定义椭圆是日常生活中又一种常见的曲线，如倾斜着的圆柱形水杯的水面的边界线，汽车油罐横截面的轮廓线，水平放置的圆的直观图等等. 如图8-1所示，取一条一定长的细绳，把它的两端分别固定在画板上的和两点（绳长大于），然后用笔尖把绳拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动一周，则笔尖画出的曲线就是椭圆. 图8-1由以上画图过程可以看出，笔尖（即动点）在移动时，它到两个定点、的距离之和总等于定长，即绳长. 平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点
2、的轨迹叫做椭圆. 两个定点和叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2. 椭圆的标准方程根据椭圆的定义，我们来求椭圆的方程. 以过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系. 如图8-2所示. 图8-2设为椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则、的坐标分别为、. 到两焦点、的距离之和为常数，根据椭圆的定义，有由两点间距离公式，可得移项，得两边平方，得化简，得两边再平方，得整理，得由椭圆定义可知，即，从而，所以.设，代入上式，得两边同除以，得这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，椭圆与轴的交点为，与轴的交点为，. 如果以所在的直线为轴，线段的中点为原点，
3、建立直角坐标系，如图8-3. 所得方程为这个方程所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，椭圆与轴的交点为，与轴的交点为，. 图8-3不论焦点在轴上，还是在轴上，下面的式子总是成立的. 练一练：1. 判断下列椭圆焦点的位置：（1）的焦点在 轴上（2）的焦点在 轴上（3）的焦点在 轴上2. 椭圆的焦点是、，椭圆上一个点到的距离是1，则到的距离是 例1 已知椭圆的焦点为、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程. 解：由已知条件可知，从而，于是.又椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为例2 已知、为两定点，且的周长等于16，求顶点的轨迹方程. 解：以所在直线为轴，以线段的中点为原点，建立直角
4、坐标系，如图8-4.图8-4由已知，可得，即点的轨迹为椭圆，且，所以，. 当点在直线上，即时，、三点不能构成三角形，所以点的轨迹方程为练一练：（1）椭圆方程是，则 ， ， ，焦点在 轴上；，焦距是 ；椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是 . （2）写出5，焦距等于6，焦点在轴的椭圆标准方程. 3. 椭圆的离心率因为，而且，所以. 当越大，则越小，椭圆越扁平；当越小，则越大，椭圆越鼓一些. 因此，把，叫做椭圆的离心率，因为，所以，用它来表示椭圆的扁平程度. 例3 求椭圆的离心率、焦点坐标，并用描点法画出它的图形. 解：把已知方程化成标准方程这里5，4，于是. 因此离心率，两个焦点为、. 将已知方程
5、变形为，在第象限的范围内算出几个点的坐标，列表01234543.93.73.22.40描点画出椭圆在第象限的图形，在利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图8-5）. 图8-5练一练：（1）椭圆的焦距是 ，焦点在 轴上，焦点坐标是 ，离心率是 ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是 . （2）将（1）中的椭圆绕中心旋转后，所得到的椭圆方程是 ，焦距是 ，焦点在 轴上，焦点坐标是 ，离心率是 . 【习题8.1】 1. 填空题（1）椭圆方程是，则 ， ， ，焦点坐标是 ，焦距是 ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是 ；（2）椭圆方程是，则 ， ， ，焦点在 轴上. 2. 求适合下列条件的椭圆标准方程：（1
6、）焦点在轴上，焦距等于12，离心率；（2）两焦点坐标为，过点；（3）过点和；（4）椭圆两顶点为，一焦点为；（5）焦距等于8，焦点在轴上，；（6）两焦点坐标为，（7）焦点在轴上，焦距等于，离心率3. 一圆的圆心在椭圆的右焦点上，并且此圆通过椭圆在轴上的顶点，求圆的方程. 4. 求椭圆上的一点与两焦点的距离及距离之和. 5. 用椭圆的面积公式，求下列椭圆的面积：（1）（2）当时，椭圆变成什么图形？公式变成什么形式？6.椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别为直线与两坐标轴的交点，求椭圆的标准方程. 7.一动点到定点的距离与它到直线的距离的比为，求动点的轨迹方程. 8.已知地球运行的轨道是一个，离
7、心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离. 8.2 双曲线1. 双曲线的定义双曲线也是日常生活中的一种常见曲线，如发电厂双曲线型通风塔的外部轮廓，一些天体运动的轨道等都是双曲线. （1）（2） 图8-6如图8-6所示，取一条拉链先拉开它的一部分，将拉链分成两支，在拉开的两支上各选取一点、，分别固定在画板上，拉头到、两点的距离不等，把笔尖放在拉头处（），笔尖随着拉链的拉开或合上，就画出一条曲线，如图8-6（1）所示；再交换位置（），同样画出另一条曲线，如图8-6（2）所示. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 由以上画图过程不难看出：笔尖（即动点）
8、在移动时，它到两个定点、的距离之差的绝对值，都等于两支拉链的长度之差. 根据上面的分析，给出双曲线的定义：平面内与两定点、的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 两定点、叫做双曲线的焦点. 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程我们可以仿照求椭圆的标准方程的做法求双曲线的标准方程. 如图8-7，建立直角坐标系，以过两焦点、的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴. 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么、的坐标分别为、. 图8-7设点到两焦点的距离之差的绝对值为常数，那么根据双曲线的定义，有即 由两点间的距离公式，可得移项，得两边平方，得化简，得两边再平方，得
9、整理，得由双曲线定义可知：，既，从而，所以. 设，代入上式，得两边同除以，得这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是和，双曲线与轴的交点为，. 如果两焦点在轴上，则焦点坐标为、，如图8-8所示，得到它的方程 这个方程也是双曲线的标准方程. 双曲线与轴的交点为，图8-8不论焦点在轴上，还是在轴上，下面的式子总是成立的. 特别地，当时，双曲线方程为 或 我们把此时的双曲线称为等轴双曲线. 练一练：判断下列双曲线的焦点的位置：（1）的焦点在 轴上；（2）的焦点在 轴上；（3）的焦点在 轴上例1 已知双曲线的焦点为、，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值是6，求双曲线的标准
10、方程. 解：由已知条件可知，从而，于是因为双曲线的焦点在轴上，所求双曲线的标准方程为例2 已知，且双曲线经过点，焦点在轴上且关于原点对称，求双曲线的标准方程. 解：因为，且双曲线经过点，所以有得又双曲线的焦点在轴上，所求双曲线的标准方程为练一练：（1）双曲线方程是，则 ， ， ，焦点在 轴上，焦距是 ；双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是 . （2）写出5，的双曲线方程. 3. 双曲线的离心率与椭圆类似，把叫做双曲线的离心率，它是表示双曲线开口大小的量. 因为，所以，即双曲线的离心率是大于1的数. 例3 求等轴双曲线的离心率. 解： 因为双曲线是等轴双曲线，所以 又 所以 所以等轴双曲
11、线的离心率例4 求双曲线的，并用描点法画出它的图形. 解：把已知方程化成标准方程可知焦点在轴上， 3， 4，于是. 因此双曲线的离心率. 将已知方程变形为，在第象限的范围内算出几个点的坐标，列表345603.55.36.9用描点法作出双曲线在第象限的图形，在利用双曲线的对称性画出整个双曲线（如图8-9）. 图8-9例5 已知双曲线的焦点在轴上，焦距等于10，求双曲线的标准方程. 解：设所求双曲线的方程为由已知条件可得解得因此所求双曲线的标准方程为练一练：（1）双曲线的焦距是 ，焦点在 轴上，焦点坐标是 ，离心率是 ，双曲线任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是 . （2）将（1）中的双曲线绕中心
12、旋转后，所得到的双曲线方程是 ，焦距是 ，焦点在 轴上，焦点坐标是 ，离心率是 ，【习题8.2】1. 填空题：（1）双曲线方程是，则 ， ， ，焦点坐标是 ，焦距是 ，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是 ；（2）双曲线方程是，则则 ， ， ，焦点坐标是 ，焦距是 ，焦点在 轴上. 2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上的等轴双曲线； （3），经过点，焦点在轴上；（4）经过点和（5）离心率是，经过点3. 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程. 4. 求以椭圆的焦点为顶点，轴上的顶点为焦点的双曲线方程. 5. 求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程. 8.3 抛物线1. 抛物线的定义初中时学习过的二次函数，它的图像就是抛物线. 抛物线也是日常生活中一种常见的曲线，如抛出铅球所行进的路线，探照灯或手电筒的反射镜面的纵切面的轮廓等. 如图8-10所示，把一根直尺固定在画图板内直线的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端
