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1、2.传递函数的状态空间最小实现问题 对于给定的线性控制系统，维数最小的实现称为最实现。对于单输入/单输出系统的传递函数，存在两种情况，一种是传递函数的零点、极点可以对消（即传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子），另一种是传递函数的零点、极点不可以对消（即传递函数的分子和分母多项式没有可约去的因子）。不可约传递函数的实现就是最小实现，这时系统状态变量的数目最少，状态空间描述的阶次最小。 【例9-6】设给定系统的传递函数为 试求该传递函数的状态空间描述实现和最小实现。 上一幻灯片 下一页,(9-31),解：由式（9-31）可以看出，传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子（s+2），下面先求出
2、不约去因子（s+2）的状态空间描述实现。 由式（9-31）可得 由（1）讨论的结果，可以方便地得到系统的状态空间描述如下,再进一步考察题目所给的传递函数式（9-31），把它化简 成不可约的传递函数形式，则有， (9-32) 应用上述相同的方法，可求得式（9-32）的状态空间描述为 以上结果表明，对在数学表达式上相等的两个传递函数表达式（9-31）和（9-32），能求出两种不同阶次的状态空间描述（一个为三阶，另一个为二阶）。 9.3.3由状态变量图求系统的状态空间描述 上一页 下一页,图9-5中给出了这三种基本符号的示意图。对于只有这三 种图形符号所构成的系统来说，它有一个重要的特点，即每一 个
3、积分环节的输出都代表系统的一个状态变量。因此，我们把这 种只包含上述三种基本图形符号的系统称为状态变量图。 图9-5 状态变量图的三种基本图形符号 （a）积分环节；(b) 相加点 (c) 比例环节 如果一个控制系统主要由比例环节。积分环节、一阶滞后环节（惯性环节）、二阶振荡环节等基本环节所组成，则其组成传递函数方框图要改画成状态变量图是很方便的，只要把其中的一阶惯性环节1/(Ts+1)和二阶振荡环节 ，按图9-6，9-7的方式改画成局部状态变量图就可以了。 上一页 下一页,图9-6 将一阶惯性环节改 图9-7将二阶振荡环节改 画成状态变量图 画成状态变量图 当画出整个系统的状态变量图以后，只要
4、取每个积分环节的输出作为系统的状态变量，再通过对状态变量图的观察，就可以直接得到系统的状态方程和输出方程（即状态空间描述）。下面通过一个例子来说明状态变量图的绘制方法及由它求出系统的状态空间描述的方法。 【例9-7】设有一空载运行的发电机的励磁控制系统如图9-8所示。试求出该系统的状态变量图，并求出系统的状态空间描述。 上一页 下一页,解。利用图9-6将励磁装置和发电机的传递函数均为一阶惯性环节，改画成局部状态变量图，则系统的状态变量图如图9-9所示。取状态变量为 图9-8 发电机励磁控制系统传递函数方框图 图9-9 由图9-8改画成的系统状态变量图 上一页 下一页,由图9-9可得到 (9-3
5、3) 对上式进行反拉氏变换得 (9-34) 将式（9-34）写成矩阵向量形式，即得状态空间描述为 上一页 下一页,输出方程为 用上式方法绘制状态变量图的特点是，其中状态变量的物理意义比较明确。例如在上例中，两个状态变量分别表示发电机的端电压和励磁电压。 【例9-8】 仍以例9-5的系统为例，即系统的闭环传递函数为 上一页 下一页,试用绘制状态变量图的方法，列写系统的状态空间描述。 解 将系统的闭环传递函数改写成 令上式中 (9-35) (9-36) 将式（9-36）改写成 (9-37) 由（9-35），（9-37）可画出系统的状态变量图，如图9-10所示。 图9-10 例9-5的系统状态变量图
6、 上一页 下一页,由图9-10可以方便地直接列出系统的状态空间描述。状态方程为 输出方程为 对照前面的例9-5，所得出的结果是一样的。 9.3.4 由状态空间描述转换成传递函数（单输入/单输出系统）或传递函数矩阵（多输入/多输出系统） 1.单输入/单输出系统的状态空间描述转换成传递函数 设一单输入/单输出系统的状态空间描述为 (9-38) 上一页 下一页,式中， 为状态向量及其一阶导数，A 为系统矩 阵，B 为系统输入矩阵， 为系统输出矩阵，D为标 量，u, y分别为系统的输入和输出信号，均为标量。 (9-39) 由式（9-39）可整理得 将上式代入式（9-39），可得 由此可得系统的传递函数
7、G(s)为 (9-40) 上一页 下一页,设初始条件为零，对式（9-38）进行拉氏变换可得,【例9-9】设系统的状态空间描述为 求系统的传递函数。 解：由题目可得，状态空间描述的A ,B ,C分别为 先求 上一页 下一页,所以系统的传递函数为 2.多输入/多输出系统状态空间描述转换成传递函数矩阵 实际的控制系统可能是多输入/多输出系统，如图9-11所示 图9-11 多输入多输出系统 上一页 下一页,图中 为系统的输入信号，设有r个。 为系 统的输出信号，设有m个。 为系统n个状态变量（设系 统是n阶的）。对于图9-11的n阶多输入/多输出系统，其状态空间 描述仍为 式中， 为状态向量及其一阶导
8、数，A 为系统矩阵，B 为系统输入矩阵，C 为系统输出矩阵，D 为系统直接作用矩阵，u, y分别为系统的输入和输出信号向量，u , y 。 【例9-10】设有如图9-12所示的电枢控制式直流电动机的控制系统 图9-12电枢控制式直流电动机的控制系统 上一页 下一页,图中， ,施加于电枢上的控制电压，是系统的控制输入， V; 为被拖动的负载转矩，Nm，是系统的扰动输入；, 分 别为角位移rad和角速度，rad/s,，是系统的二个输出； 为恒定的 励磁电流, A; , 分别为电枢反电势，V和电枢电流, A; ， 分别为电枢回路的等效电阻，和等效电感，H。 试列出该双输入（ ， ）双输出（, ）系统
9、的状态空间描述。 解：根据机械旋转运动定律和电路有关定律，图9-12系统的数学模型（微分方程）有 (1) (2) 式中， 为电磁转矩；J,D分别为转动惯量及阻尼系数。 式中， 为比例系数。 上一页 下一页,式中， 为比例系数。 上述（1）（5）五个方程，为图9-12系统的原始数学模型，其中包括三个导数项，所以系统是三阶的，包括两个输入和两个输出见图9-12（b）信号，故系统为一多输入/多输出系统。在式（1）（5）中消去中间变量 及 ，可得如下三个一阶微分方程 (9-41) 取, , 作为系统的状态变量，即令 则式（9-41）的状态空间描述为 上一页 下一页,再令 将状态方程和输出方程写成矩 阵
10、向量形式，可得 上式即为图9-12系统的多输入/多输出（双输入/双输出）系统 的状态空间描述。 由于多输入/多输出系统的状态空间描述形式仍为 上一页 下一页,(9-42) 仅仅不同的是A, B, C, D中的B, C ,D与单输入/单输出系统的相应矩阵维数不同。对式（9-42）进行拉氏变换，经整理后，转换结果与式（9-40）形式相同， (9-43) 只是上式中的A, B, C, D均为矩阵，从而G(s)为矩阵，称为传递函数矩阵。 【例9-11】试将例9-10的双输入/双输出系统的状态空间描述，转换成传递函数矩阵G(s)。 解 已知例9-10的状态空间描述的 上一页 下一页,将上述A, B, C
11、代入式(9-43)可得传递函数矩阵 上式可改写成 (9-44) 式中，adj(sIA)为(sIA)矩阵的伴随矩阵；det(sIA)为矩阵(sIA)的行列式。 先求det(sIA) (9-45) 再求C adj(sIA)B Cadj(sIA)B 上一页 下一页,将式（9-45）,（9-46）代入式（9-44）得 (9-47) 式（9-47）中， ， ， ， 都是传递函数。如将式（9-47）改写成 Y(s)=G(s)U(s) (9-48) 上一页 下一页,上式用图形表示，如图9-13所示。由图可得，式（9-48） 传递函数矩阵G(s)中的四个传递函数分别代表 图9-13 传递函数矩阵图 上一页 下一幻灯片,
