《工程数学 教学课件 ppt 作者 周忠荣 等编著第9章 拉普拉斯变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学 教学课件 ppt 作者 周忠荣 等编著第9章 拉普拉斯变换（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,1,第9章 拉普拉斯变换,本章主要内容 拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念；拉普拉斯变换的存在定理 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换的几种解法 拉普拉斯变换的卷积的性质和卷积定理 微分方程的拉氏变换解法；线性系统的传递函数,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,2,第9章 拉普拉斯变换 （续）,与傅里叶变换相比，拉普拉斯变换对像原函数的要求比较弱，因此拉普拉斯变换比傅里叶变换适用面广。 拉普拉斯变换在电学、力学、控制论和电子技术等科学与工程技术领域都有着广泛的应用，并且它还是求解常系数线性微分方程的一种简便方法。,20
2、19/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,3,9.1 拉普拉斯变换的概念,本节内容 9.1.1 拉普拉斯变换的定义 9.1.2 拉普拉斯变换的存在定理,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,4,9.1.1 拉普拉斯变换的定义,对于任意函数(t)，能否经过适当的改造使得改造后的函数能够进行傅氏变换呢？答案是肯定的。 用单位阶跃函数u(t)乘(t)就将积分区间由(,)变为(0,) ；再用指数衰减函数et (0)乘(t)u(t)，就得到函数(t)u(t)et(0)。 一般地说，只要选适当的值，就可以对(t)u(t)et进行傅氏变换。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换
3、周忠荣 编,5,9.1.1 （续一）,对函数(t)u(t)et (0)进行傅氏变换，可得 其中 si，f(t)(t)u(t),2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,6,9.1.1 （续二）,若再设 则得,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,7,9.1.1 （续三）,定义9-1 设 f(t)是定义于t0的实变量函数，若广义积分 （s是个复参量）在包含s的某个区域内收敛，则由此积分确定的函数 称为函数f(x)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作L f(t)，即,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,8,9.1.1 （续四）,(9-1) F(s)也称
4、为f(t)的拉氏变换像函数，f(t)称为F(s)的拉氏逆变换，或F(s)的像原函数，记作L 1F(s)，即 L 1F(s)f(t) (9-2),2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,9,9.1.1 （续五）,f(t) (t0)的拉氏变换实际上就是f(t)et (0)的傅氏变换。 需要指出，在定义9-1中，只要求f(t)在t0时有定义，为了研究的方便，以后总假定t0时，f(t)0。 对于任一函数，总是将它乘单位阶跃函数后进行拉氏变换。例如，对sint 进行拉氏变换，实际上是对u(t)sint 进行拉氏变换，为了书写方便，常简写为f(t)sint,2019/7/10,第9章 拉普拉
5、斯变换 周忠荣 编,10,9.1.1 （续六）,例9-1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,11,9.1.1 （续七）,例9-2 求函数f(t)eat（a为实常数）的拉氏变换。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,12,9.1.2 拉普拉斯变换的 存在定理,定理9-1 若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任何有限区间上分段连续； (2) 在t时， f(t)增长速度不超过某一指数函数，即当t充分大后,存在常数M0及c0，使得 | f(t)|Mect 成立。则f(t)的拉氏变换F(s)在半平面Re(s)c上一定存
6、在,并且在该半平面内，F(s)为解析函数。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,13,9.1.2 （续一）,证明 由条件(2)知，一定存在着某个相当大的正数T，使得当tT 时，不等式 | f(t)|Mect 成立。由于 右端第一个积分是定积分，当然收敛。 对于第二个积分，由于 其中si。可见，它在Re(s)c的条件下收敛，即有,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,14,9.1.2 （续二）,续证 所以 绝对收敛。从而 绝对收敛。 根据复变函数里的解析函数理论，可知F(s)在Re(s)c内是解析的。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,15,
7、9.1.2 （续三）,例9-3 求斜坡函数f(t)at（a为实常数）的拉氏变换。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,16,9.1.2 （续四）,例9-4 求正弦函数f(t)sinat（a为实常数）的拉氏变换。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,17,9.1.2 （续五）,例9-5 求单位脉冲函数(t) 的拉氏变换。 解 根据式(9-1)，并利用(t)的性质 ，有,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,18,9.2 拉氏变换的性质,线性性质 若L f1(t)F1(s)， L f2(t)F2(s)，a、b是常数，则有 L af1(t)
8、bf2(t)aF1(s)bF2(s) (9-4) L 1aF1(s)bF2(s)af1(t)bf2(t) (9-5) 该性质表明，各函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,19,9.2 （续一）,例9-7 求L4u(t)3e2t5t。 解 例9-8 求L sintcost(t)。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,20,9.2 （续二）,微分性质 若L f(t)F(s)，则有 (9-6) 证明 sF(s)F(0) (Re(s)c),2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,21,9.2 （续
9、三）,说明 当f(t)在t0处不连续时，式(9-6)中的f(0)应理解为f(0)，下面类似处按同样方式理解。 该性质表明，函数f(t)求导后的拉氏变换等于f(t)的像函数F(s)乘以复参量s，再减去该函数的初值f(0)。 推论 若L f(t)F(s)，则有 (9-7),2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,22,9.2 （续四）,特别地，当 ，有 (9-8) 对于像函数， 有类似的微分性质： 若L f(t)F(s)，则有 (9-9) (9-10),2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,23,9.2 （续五）,例9-9 已知 f(t)tm ， m 为正整数， 求L
10、 f(t)。 解 由于 且 ，满足式(9-8)的条件，从而 最后得,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,24,9.2 （续六）,积分性质 若L f(t)F(s)，则有 (9-11) 证明 设 ，则有 ，且h(0)0。根据拉氏变换的微分性质，有 由此得,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,25,9.2 （续七）,说明 该性质中的定积分的上限和下限必须是t和0。 该性质表明，函数f(t)积分后的拉氏变换等于f(t)的像函数F(s)除以复参量s。 重复运用式(9-11)可以得到 (9-12) n次积分,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,26,9
11、.2 （续八）,对于像函数，有类似的积分性质：若F(s)Lf(t)且 ，则有 (9-13) 例9-10 已知 ，a为实常数，求Lf(t)。 解,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,27,9.2 （续九）,位移性质 若L f(t)F(s)，则有 L eatf(t)F(sa) (9-14) 证明 根据式(9-1)，有 F(sa) (Re(sa)c) 该性质表明，函数f(t)乘以指数函数eat的拉氏变换等于f(t)的像函数F(s)作位移a，即F(sa)。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,28,9.2 （续十）,例9-11 已知f(t)tmeat，a为实数，m为
12、正整数，求L f(t)。 例9-12 求L ebtsin at。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,29,9.2 （续十一）,延迟性质 若L f(t)F(s)，且t0时f(t)0，则对于任一实数，有 L f(t)esF(s) (9-15) 证明 根据式(9-1)，有 当t时，f(t)0，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令tu，则有,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,30,9.2 （续十一）,续证 根据式(9-1)，有 e sF(s) (Re(sa)c),该性质表明，时间函数f(t)延迟时间后的拉氏变换等于f(t)的像函数F(s)乘以指数因子e s。,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,31,9.2 （续十二）,例9-13 求函数 的拉氏变换。 解 由例9-1的结果 和拉氏变换的延迟性质，得,2019/7/10,第9章 拉普拉斯变换 周忠荣 编,32,9.2 （续十三）,相似性质 若L f(t)F(s)，则对于任一实数a，有 (9-16) 证明 根
